座標平面において，中心が原点$\mathrm{O}$で点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を通る円$C_1$と，中心が点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で点$\mathrm{P}$を通る円$C_2$がある．ただし$t>0$とする．$C_1$と$C_2$の$\mathrm{P}$ではない交点を$\mathrm{R}$とし，$C_1$の境界を含む内部と$C_2$の境界を含む内部の共通部分を$D$とする．

(1)直線$\mathrm{PR}$の方程式は$s(x-[ア])+ty=0$である．$s=0$のとき，点$\mathrm{R}$は$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$([イ][ウ],\ [エ])$である．

(2)$s=\sqrt{3} \, t$のとき，点$\mathrm{R}$は$s$と$t$の値によらず同じ位置にあって，その座標は$\displaystyle \left( \frac{[オ]}{[カ]},\ \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \right)$である．四角形$\mathrm{OPQR}$は円に内接するとする．このとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left( [ケ],\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]} \right)$である．また，領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス][セ]} \pi-\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．

(3)点$\mathrm{Q}$は$s+t=2$を満たしながら動くとする．線分$\mathrm{QR}$の長さが最小となるような点$\mathrm{R}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right)$であり，このときの領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{[ナ]}-\frac{[ニ]}{[ヌ]}$となる．ただし，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{4}{5} \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$である．

\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
右図に示す$8$つの領域にわかれた円を塗り分ける．そのさい各領域には$1$つの色を塗るものとし，境界を共有する隣り合った領域には互いに異なる色を塗る．ただし，円を${120}^\circ$の倍数の角度で回転させて一致する塗り方はすべて同じとみなす．次の問いに答えよ．

(1)異なる$8$色を用いた塗り方は何通りあるか．
(2)異なる$7$色を用いた塗り方は何通りあるか．
(3)異なる$6$色を用いた塗り方は何通りあるか．

\end{mawarikomi}

座標平面において，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を自然数とし，放物線$y=x^2$，直線$x=n$および$x$軸で囲まれた図形を$S_n$とする．$S_n$の境界上にある格子点の個数を$a_n$とし，$S_n$の境界を除いた内部にある格子点の個数を$b_n$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_n$を，$n$を用いて表せ．
(2)$b_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)$S_n$の面積を$c_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{a_n}{2}+b_n-c_n \right)$を求めよ．

$xy$平面内の直線$L$を$x-ay+a^2-1=0$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)直線$L$と$x$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)直線$L$は$a$が$0$でないとき$y$軸と交わる．このときの$y$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)直線$L$上の点$(x,\ y)$がとりえる範囲を，$x$と$y$に関する不等式で表せ．
(4)$(3)$で求めた範囲の境界を曲線$C$とする．直線$L$と曲線$C$が接することを示し，接点の座標を$a$を用いて表せ．
(5)$a>0$のとき，直線$L$と$(4)$の曲線$C$および$x$軸で囲まれ，かつ$x \geqq 0$の部分の面積を$a$を用いて表せ．

座標空間の原点$\mathrm{O}$を通りベクトル$(1,\ \sqrt{3},\ 2 \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$の座標を$(\sqrt{3}+3,\ 3 \sqrt{3}+3,\ 6-2 \sqrt{3})$とする．このとき，$\mathrm{O}$を頂点とする円錐$C$は，底面の中心$\mathrm{H}$が$\ell$上にあり，底面の円周が$\mathrm{A}$を通るとする．

(1)$\displaystyle \angle \mathrm{AOH}=\frac{[コ]}{[サ]}\pi$である．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOH}<\pi$とする．
(2)$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \sqrt{[シ]},\ [ス],\ [セ] \right) \]
である．
(3)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の底面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ y+[ソ]z+[タ]=0 \]
が成り立つ．
(4)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の側面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ [チ]y^2+[ツ]yz+[テ]z^2+[ト]y+[ナ]z+21=0 \]
が成り立つ．また，このときの$z$の最大値は
\[ [ニ]+\frac{[ヌ]}{[ネ]} \sqrt{[ノ]} \]
である．

$xyz$空間において，$xy$平面に原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$で接し，中心が$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$であるような球面を$S$とする．点$\mathrm{P}(2 \sqrt{3},\ 0,\ 3)$に点光源をおくとき，$xy$平面上にできる$S$の影$S^\prime$を考える．

(1)点$\mathrm{P}$から球面$S$に引いた接線の一つと球面との接点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{PA}$の長さは$\sqrt{[キ]}$である．$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とすると，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)球面$S$上で光が当たる部分と影の部分との境界は，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]},\ [シ],\ \frac{[ス]}{[セ]} \right)$を中心とし，半径が$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$の円である．
(3)影$S^\prime$は長軸の長さが$[チ] \sqrt{[ツ]}$の楕円の内部である．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=-x+2-\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$の増減およびグラフの凹凸を調べよ．また，$y$の最大値およびそのときの$x$の値，$y$の最小値およびそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$2$つの曲線$y=-x+2-\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$と$y=-x+2+\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$によって囲まれた図形$D$を座標平面上に描け．なお，$D$の境界が座標軸との共有点をもつならば，その座標も記入せよ．
(3)上の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

座標平面上の点B$(0,\ 1)$を中心とする半径1の円を$C_0$，$a > 0$とし，点A$(a,\ 0)$を通り$C_0$に接する2直線のうち$x$軸でない方を$\ell$とする．また，$C_0$，$x$軸，$\ell$によって囲まれる領域(境界も含む)の内部にあって，$C_0$，$x$軸，$\ell$に接する円を$C_1$，$C_1$の半径を$r$とする．さらに，$C_0$，$C_1$，$x$軸によって囲まれる領域(境界を含む)の内部にあって，$C_0$，$C_1$，$x$軸に接する円を$C_2$，$C_2$の半径を$s$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)次の問いに答えよ．

\mon[(i)] $r$を$a$で表せ．
\mon[(ii)] $a =\sqrt{3}$のとき，$r$はいくらか．

(2)次の問いに答えよ．

\mon[(i)] $s$を$a$で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle a=\frac{3}{4}$のとき，$s$はいくらか．

(3)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0}\frac{r}{a^2},\ \lim_{a \to 0}\frac{s}{r}$を求めよ．

$n,\ r$は$n \geqq r$を満たす正の整数であるとし，$x,\ y$ともに$0$以上$n$以下の整数であるような座標平面上の点$(x,\ y)$の集合を$S$とする．また，曲線$x^2+y^2=r^2 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$，$x$軸，$y$軸によって囲まれる領域(境界を含む)を$D$とする．ここで，$S$からランダムに$1$点を選ぶ試行を考える．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=10,\ r=5$のとき，選ばれた点が$D$内にある確率はいくらか．
(2)$[\,x\,]$は$x$を超えない最大の整数を表す記号である．直線$x=t$上の点で$D$に含まれる$S$の要素の個数をこの記号を用いて表せ．ここで，$t$は0以上$r$以下の整数とする．
(3)$r=n$とし，選ばれた点が$D$内に含まれる確率を$P(n)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(n)$を求めよ．

関数$f(x)$は，

$\displaystyle (ⅰ) f \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=2$
$\displaystyle (ⅱ) \int_0^t \sqrt{1+\{f^\prime(x)\}^2} \, dx=t^3+t (t>0)$

を満たすものとする．このとき，以下の設問に答えなさい．

(1)この条件を満たす関数$f(x)$は
\[ f(x)=[$1$] \]
または
\[ f(x)=[$2$] \]
である．
(2)曲線$y=[$1$]$および曲線$y=[$2$]$の交点の座標をすべて求めなさい．ただし，$[$1$]$，$[$2$]$は$(1)$で求めた関数とする．
(3)点$(x,\ y)$が$(2)$の$2$曲線$y=[$1$]$および$y=[$2$]$で囲まれた範囲（境界を含む）を動くとき，$\sqrt{7}x+3y$の最小値を求めなさい．