「場合分け」について
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国立 弘前大学 2014年 第3問$a>0$，$b>1$とする．関数$f_1(x)=-2x^2-x+3$と$f_2(x)=ax^2-a(b+1)x+ab$に対し，関数$f(x)$を$x \leqq 1$のとき$f(x)=f_1(x)$，$x>1$のとき$f(x)=f_2(x)$と定める．また関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\int_{-\frac{3}{2}}^x f(t) \, dt$と定める．次の問いに答えよ．
(1)微分係数${f_1}^\prime(1)$と${f_2}^\prime(1)$が等しくなるための$a,\ b$の関係式を求めよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた関係式を満たすとする．$g(x)$の最小値を$b$の値によって場合分けをして求めよ．
(1)微分係数${f_1}^\prime(1)$と${f_2}^\prime(1)$が等しくなるための$a,\ b$の関係式を求めよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた関係式を満たすとする．$g(x)$の最小値を$b$の値によって場合分けをして求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第3問$a$を定数とし，$2$次関数$y=2x^2-4(a-2)x+2a^2-7a+9$のグラフを$C$とする．以下の各問いに答えよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第3問$a$を定数とし，$2$次関数$y=2x^2-4(a-2)x+2a^2-7a+9$のグラフを$C$とする．以下の各問いに答えよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
(1)$C$の頂点の座標を求めよ．
(2)$a<2$とする．$x$の範囲を$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，$y$の最小値とそのときの$x$の値を，$a$の値の範囲によって場合分けして答えよ．
(4)$(2)$と同様に$a<2$，$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，最大値と最小値の差が$6$になるときの$a$の値を求めよ．
公立 和歌山県立医科大学 2014年 第3問$a$を正の実数とする．$x$の方程式$\{ \log (x^2+a) \}^2+\log a=1$の異なる実数解の個数を，$a$の値によって場合分けして求めよ．ただし，対数は自然対数であるとする．
私立 近畿大学 2013年 第3問定義域を$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする関数$f(x)=|\sin 2x-2 \sin x-2 \cos x+1|$がある．$t=\sin x+\cos x$とおき，$f(x)$を$t$で表した関数を$g(t)$とおく．
(1)関数$g(t)$を求めよ．
(2)$t$が取りうる値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が取りうる値の範囲を求めよ．
(4)方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数$l$を$k$の値で場合分けして求めよ．
(1)関数$g(t)$を求めよ．
(2)$t$が取りうる値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が取りうる値の範囲を求めよ．
(4)方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数$l$を$k$の値で場合分けして求めよ．
国立 新潟大学 2012年 第3問$a$を実数とし，$xy$平面上において，2つの放物線
\[ C:y=x^2,\quad D:x=y^2+a \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)$p,\ q$を実数として，直線$\ell:y=px+q$が$C$に接するとき，$q$を$p$で表せ．
(2)(1)において，直線$\ell$がさらに$D$にも接するとき，$a$を$p$で表せ．
(3)$C$と$D$の両方に接する直線の本数を，$a$の値によって場合分けして求めよ．
\[ C:y=x^2,\quad D:x=y^2+a \]
を考える．次の問いに答えよ．
(1)$p,\ q$を実数として，直線$\ell:y=px+q$が$C$に接するとき，$q$を$p$で表せ．
(2)(1)において，直線$\ell$がさらに$D$にも接するとき，$a$を$p$で表せ．
(3)$C$と$D$の両方に接する直線の本数を，$a$の値によって場合分けして求めよ．
私立 近畿大学 2012年 第3問$p$を実数の定数として，実数$x$の関数を$\displaystyle f(x)={25}^x+\frac{1}{{25}^x}+2p \left( 5^x+\frac{1}{5^x}-1 \right)+7$とする．$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$とおき，$f(x)$を$t$で表した関数を$g(t)$とおく．
(1)関数$g(t)$を求めよ．
(2)方程式$g(t)=0$が実数解を$1$個もつとき，$p$の値と解$t$の値を求めよ．
(3)方程式$g(t)=0$が次の条件をみたす$2$個の実数解$t_1,\ t_2$をもつとき，$p$がとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．
\[ (ⅰ) t_1<2,\ t_2>2 \quad (ⅱ) t_1=2,\ t_2>2 \quad (ⅲ) 2<t_1<t_2 \quad \tokeishi t_1<t_2<2 \]
(4)$t$を定数とみなし$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$を$x$の方程式とみなして，方程式$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$が異なる$2$つの実数解$x$をもつように$t$の値を定めるとき，$t$がとりうる値の範囲を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$の異なる実数解$x$の個数を，$p$の値で場合分けして求めよ．
(1)関数$g(t)$を求めよ．
(2)方程式$g(t)=0$が実数解を$1$個もつとき，$p$の値と解$t$の値を求めよ．
(3)方程式$g(t)=0$が次の条件をみたす$2$個の実数解$t_1,\ t_2$をもつとき，$p$がとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．
\[ (ⅰ) t_1<2,\ t_2>2 \quad (ⅱ) t_1=2,\ t_2>2 \quad (ⅲ) 2<t_1<t_2 \quad \tokeishi t_1<t_2<2 \]
(4)$t$を定数とみなし$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$を$x$の方程式とみなして，方程式$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$が異なる$2$つの実数解$x$をもつように$t$の値を定めるとき，$t$がとりうる値の範囲を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$の異なる実数解$x$の個数を，$p$の値で場合分けして求めよ．