「場合の数」について
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国立 熊本大学 2013年 第1問$X,\ Y$は$\{ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \}$の空でない部分集合で，$X \cap Y$は空集合とする．また，$n$を自然数とする．$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君が以下のルールで対戦する．
(i) $1$回目の対戦では，まず$\mathrm{A}$君がさいころを投げて，出た目が$X$に属するならば$\mathrm{A}$君の勝ちとする．出た目が$X$に属さなければ$\mathrm{B}$君がさいころを投げて，出た目が$Y$に属するならば$\mathrm{B}$君の勝ちとする．
(ii) $1$回目の対戦で勝負がつかなかった場合は，$1$回目と同じ方法で$2$回目以降の対戦を行い，どちらかが勝つまで続ける．ただし，$n$回対戦して勝負がつかなかった場合は引き分けにする．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを投げたとき，$X,\ Y$に属する目が出る確率をそれぞれ$p,\ q$とする．$\mathrm{A}$君が勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$君が勝つ確率が，$\mathrm{B}$君が勝つ確率よりも大きくなるような集合の組$(X,\ Y)$は何通りあるか．
(i) $1$回目の対戦では，まず$\mathrm{A}$君がさいころを投げて，出た目が$X$に属するならば$\mathrm{A}$君の勝ちとする．出た目が$X$に属さなければ$\mathrm{B}$君がさいころを投げて，出た目が$Y$に属するならば$\mathrm{B}$君の勝ちとする．
(ii) $1$回目の対戦で勝負がつかなかった場合は，$1$回目と同じ方法で$2$回目以降の対戦を行い，どちらかが勝つまで続ける．ただし，$n$回対戦して勝負がつかなかった場合は引き分けにする．
以下の問いに答えよ．
(1)さいころを投げたとき，$X,\ Y$に属する目が出る確率をそれぞれ$p,\ q$とする．$\mathrm{A}$君が勝つ確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$君が勝つ確率が，$\mathrm{B}$君が勝つ確率よりも大きくなるような集合の組$(X,\ Y)$は何通りあるか．
国立 徳島大学 2013年 第6問さいころを$5$回投げ，出た$5$つの目を出た順に並べたものを目の出方とする．
(1)すべての目の出方は何通りあるか．
(2)$5$以上の目が$2$つ以上ある目の出方は何通りあるか．
(3)和が$10$以上となる$2$つの目を選ぶことができる目の出方は何通りあるか．
(1)すべての目の出方は何通りあるか．
(2)$5$以上の目が$2$つ以上ある目の出方は何通りあるか．
(3)和が$10$以上となる$2$つの目を選ぶことができる目の出方は何通りあるか．
国立 岐阜大学 2013年 第3問$1$から$9$までの数字が$1$つずつ重複せずに書かれた$9$枚のカードがある．そのうち$8$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$人に$2$枚ずつ分ける．以下の問に答えよ．
(1)$9$枚のカードの分け方は全部で何通りあるか．
(2)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の和が$4$人とも奇数である確率を求めよ．
(3)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の差が$4$人とも同じである確率を求めよ．ただし，$2$枚のカードに書かれた数の差とは，大きいほうの数から小さいほうの数を引いた数である．
(1)$9$枚のカードの分け方は全部で何通りあるか．
(2)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の和が$4$人とも奇数である確率を求めよ．
(3)各人が持っている$2$枚のカードに書かれた数の差が$4$人とも同じである確率を求めよ．ただし，$2$枚のカードに書かれた数の差とは，大きいほうの数から小さいほうの数を引いた数である．
国立 岩手大学 2013年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)式$(a+b)^6$を展開したときの$a^3b^3$の項の係数を求めよ．
(2)$6$個の引き出しがあり，そのすべてに書類$a$と書類$b$が$1$部ずつ入っている．書類$a$を$4$部と書類$b$を$2$部取り出したい．
(i) $1$個の引き出しから，書類$a$または書類$b$のどちらかしか取り出せないとき，取り出し方は何通りあるか．
(ii) $1$個の引き出しから，書類$a$と書類$b$の両方を取り出してもよいし，片方のみを取り出してもよいし，どちらも取り出さなくてもよいとき，取り出し方は何通りあるか．
(3)(2)$ \ (ⅱ)$における書類の取り出し方の場合の数は，式
\[ (ab+a+b+1)^6 \]
を展開したときの$a^4b^2$の項の係数に等しくなる．その理由をのべよ．
(1)式$(a+b)^6$を展開したときの$a^3b^3$の項の係数を求めよ．
(2)$6$個の引き出しがあり，そのすべてに書類$a$と書類$b$が$1$部ずつ入っている．書類$a$を$4$部と書類$b$を$2$部取り出したい．
(i) $1$個の引き出しから，書類$a$または書類$b$のどちらかしか取り出せないとき，取り出し方は何通りあるか．
(ii) $1$個の引き出しから，書類$a$と書類$b$の両方を取り出してもよいし，片方のみを取り出してもよいし，どちらも取り出さなくてもよいとき，取り出し方は何通りあるか．
(3)(2)$ \ (ⅱ)$における書類の取り出し方の場合の数は，式
\[ (ab+a+b+1)^6 \]
を展開したときの$a^4b^2$の項の係数に等しくなる．その理由をのべよ．
私立 北海学園大学 2013年 第4問$12$人の生徒が$4$人ずつ$3$つのグループ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に分かれている．この$12$人の生徒のうち，$n$人（$1 \leqq n \leqq 12$）が横$1$列に並ぶことを考える．ただし，同じグループの生徒は隣り合わないように並ぶものとする．
(1)$n=2$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(2)$n=3$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(3)$n=4$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(1)$n=2$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(2)$n=3$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(3)$n=4$のとき，このような並び方は何通りあるか．
私立 北海学園大学 2013年 第2問$12$人の生徒が$4$人ずつ$3$つのグループ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に分かれている．この$12$人の生徒のうち，$n$人（$1 \leqq n \leqq 12$）が横$1$列に並ぶことを考える．ただし，同じグループの生徒は隣り合わないように並ぶものとする．
(1)$n=2$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(2)$n=3$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(3)$n=4$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(1)$n=2$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(2)$n=3$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(3)$n=4$のとき，このような並び方は何通りあるか．
私立 北海学園大学 2013年 第3問下の図のように，$1$辺の長さが$1$の立方体$18$個を積み重ね，直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を作る．積み重ねられた立方体$18$個の各辺に沿って移動できるものとし，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{G}$までの最短経路を考える．
$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向
と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．
(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）
$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向
と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．
(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）
私立 北海学園大学 2013年 第5問$12$人の生徒が$4$人ずつ$3$つのグループ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に分かれている．この$12$人の生徒のうち，$n$人（$1 \leqq n \leqq 12$）が横$1$列に並ぶことを考える．ただし，同じグループの生徒は隣り合わないように並ぶものとする．
(1)$n=2$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(2)$n=3$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(3)$n=4$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(1)$n=2$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(2)$n=3$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(3)$n=4$のとき，このような並び方は何通りあるか．
私立 北海学園大学 2013年 第2問下の図のように，$1$辺の長さが$1$の立方体$18$個を積み重ね，直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を作る．積み重ねられた立方体$18$個の各辺に沿って移動できるものとし，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{G}$までの最短経路を考える．
$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向
と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．
(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）
$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向
と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．
(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）
私立 昭和大学 2013年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)$2(3x^3-2x-2)^5$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$a+b+c=9$を満たす正の整数$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$は何通りあるか．
(3)$3$個のさいころを同時に投げたときに，出た目の積が偶数である確率を求めよ．
(4)$1$から$500$までの整数のうち，以下の条件を満たす数の個数をそれぞれ求めよ．
$(ⅰ)$ $6$と$8$の両方で割り切れる数， \quad $(ⅱ)$ $6$でも$8$でも割り切れない数
(1)$2(3x^3-2x-2)^5$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$a+b+c=9$を満たす正の整数$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$は何通りあるか．
(3)$3$個のさいころを同時に投げたときに，出た目の積が偶数である確率を求めよ．
(4)$1$から$500$までの整数のうち，以下の条件を満たす数の個数をそれぞれ求めよ．
$(ⅰ)$ $6$と$8$の両方で割り切れる数， \quad $(ⅱ)$ $6$でも$8$でも割り切れない数