「場合の数」について
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国立 北海道大学 2014年 第4問図のような格子状の道路がある．$\mathrm{S}$地点を出発して，東または北に進んで$\mathrm{G}$地点に到達する経路を考える．ただし太い実線で描かれた区間$a$を通り抜けるのに$1$分，点線で描かれた区間$b$を通り抜けるのに$8$分，それ以外の各区間を通り抜けるのに$2$分かかるものとする．たとえば，図の矢印に沿った経路では$S$を出発し$\mathrm{G}$に到達するまでに$16$分かかる．
（図は省略）
(1)$a$を通り抜ける経路は何通りあるか．
(2)$a$を通り抜けずに$b$を通り抜ける経路は何通りあるか．
(3)すべての経路から任意に$1$つ選んだとき，$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に到達するのにかかる時間の期待値を求めよ．
（図は省略）
(1)$a$を通り抜ける経路は何通りあるか．
(2)$a$を通り抜けずに$b$を通り抜ける経路は何通りあるか．
(3)すべての経路から任意に$1$つ選んだとき，$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に到達するのにかかる時間の期待値を求めよ．
国立 北海道大学 2014年 第4問図のような格子状の道路がある．$\mathrm{S}$地点を出発して，東または北に進んで$\mathrm{G}$地点に到達する経路を考える．ただし太い実線で描かれた区間$a$を通り抜けるのに$1$分，点線で描かれた区間$b$を通り抜けるのに$8$分，それ以外の各区間を通り抜けるのに$2$分かかるものとする．たとえば，図の矢印に沿った経路では$S$を出発し$\mathrm{G}$に到達するまでに$16$分かかる．
（図は省略）
(1)$a$を通り抜ける経路は何通りあるか．
(2)$a$を通り抜けずに$b$を通り抜ける経路は何通りあるか．
(3)すべての経路から任意に$1$つ選んだとき，$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に到達するのにかかる時間の期待値を求めよ．
（図は省略）
(1)$a$を通り抜ける経路は何通りあるか．
(2)$a$を通り抜けずに$b$を通り抜ける経路は何通りあるか．
(3)すべての経路から任意に$1$つ選んだとき，$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に到達するのにかかる時間の期待値を求めよ．
国立 岡山大学 2014年 第1問$n$を$3$以上の整数とし，$a,\ b,\ c$は$1$以上$n$以下の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a<b<c$となる$a,\ b,\ c$の組は何通りあるか．
(2)$a \leqq b \leqq c$となる$a,\ b,\ c$の組は何通りあるか．
(3)$a<b$かつ$a \leqq c$となる$a,\ b,\ c$の組は何通りあるか．
(1)$a<b<c$となる$a,\ b,\ c$の組は何通りあるか．
(2)$a \leqq b \leqq c$となる$a,\ b,\ c$の組は何通りあるか．
(3)$a<b$かつ$a \leqq c$となる$a,\ b,\ c$の組は何通りあるか．
国立 鳴門教育大学 2014年 第2問$4$人乗りと$5$人乗りの自動車があります．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$人が，これら$2$台の自動車に分乗してドライブに行きます．ただし，座席は区別しないものとし，運転できる人が$2$人以上乗る場合，誰が運転するかは区別しないものとします．次の場合，分乗する方法はそれぞれ何通りあるか答えなさい．
(1)$6$人全員が自動車を運転できる．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人のみが自動車を運転できる．
(1)$6$人全員が自動車を運転できる．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人のみが自動車を運転できる．
国立 福岡教育大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
国立 福岡教育大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．
(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．
国立 防衛医科大学校 2014年 第2問ある病気に関する$3$つの検査，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$3$つの検査の結果はどれも陽性か陰性のどちらかである．$n$人に上記の$3$つの検査を行う．陽性になった検査の数が$k$個であった者の人数を$n_k$とする（$k=0,\ 1,\ 2,\ 3$）．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$n=10$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1,\ n_2,\ n_3$の組$(n_0,\ n_1,\ n_2,\ n_3)$は全部で何通りあるか．
(2)$n=15$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1$の組$(n_0,\ n_1)$のうち，下記の条件$1,\ 2,\ 3$のすべてを満たすものは全部で何通りあるか．
条件$1$：検査$\mathrm{A}$で陽性となった者は$5$人
条件$2$：検査$\mathrm{A}$で陰性となり，検査$\mathrm{B}$で陽性となった者は$6$人
条件$3$：検査$\mathrm{B}$で陽性となり，検査$\mathrm{C}$で陰性となった者はいない
(3)$n=2m$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1,\ n_3$の組$(n_0,\ n_1,\ n_3)$のうち，下記の条件$4,\ 5$の両方を満たすものは全部で何通りあるか．
条件$4$：検査$\mathrm{A}$で陽性となった者は$m$人，陰性になった者も$m$人
条件$5$：検査$\mathrm{B}$で陽性となり，検査$\mathrm{C}$で陰性となった者はいない．
(1)$n=10$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1,\ n_2,\ n_3$の組$(n_0,\ n_1,\ n_2,\ n_3)$は全部で何通りあるか．
(2)$n=15$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1$の組$(n_0,\ n_1)$のうち，下記の条件$1,\ 2,\ 3$のすべてを満たすものは全部で何通りあるか．
条件$1$：検査$\mathrm{A}$で陽性となった者は$5$人
条件$2$：検査$\mathrm{A}$で陰性となり，検査$\mathrm{B}$で陽性となった者は$6$人
条件$3$：検査$\mathrm{B}$で陽性となり，検査$\mathrm{C}$で陰性となった者はいない
(3)$n=2m$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1,\ n_3$の組$(n_0,\ n_1,\ n_3)$のうち，下記の条件$4,\ 5$の両方を満たすものは全部で何通りあるか．
条件$4$：検査$\mathrm{A}$で陽性となった者は$m$人，陰性になった者も$m$人
条件$5$：検査$\mathrm{B}$で陽性となり，検査$\mathrm{C}$で陰性となった者はいない．
国立 宇都宮大学 2014年 第1問$8$人の生徒$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g,\ h$に対して$3$つの部屋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の最大収容人数は$\mathrm{A}$が$3$人，$\mathrm{B}$が$4$人，$\mathrm{C}$が$5$人である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)生徒全員を一列に並べるとき，$c$と$d$が隣り合う並べ方は何通りあるか．
(2)生徒全員を$3$つの部屋に入れるとき，$\mathrm{A}$の人数が$3$人になるような入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
(3)生徒全員を$3$つの部屋に入れるとき，$c$と$d$が$\mathrm{A}$に入るような入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
(4)生徒全員を$3$つの部屋に入れる入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
(1)生徒全員を一列に並べるとき，$c$と$d$が隣り合う並べ方は何通りあるか．
(2)生徒全員を$3$つの部屋に入れるとき，$\mathrm{A}$の人数が$3$人になるような入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
(3)生徒全員を$3$つの部屋に入れるとき，$c$と$d$が$\mathrm{A}$に入るような入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
(4)生徒全員を$3$つの部屋に入れる入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
国立 愛媛大学 2014年 第1問$n$を$0$以上の整数とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点の上を，以下の条件$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$を満たしながら移動する．
\mon[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる．
\mon[($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．
(1)時刻$t=1$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ii) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(2)$p_1$を求めよ．
(3)$d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4)$p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．
\mon[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる．
\mon[($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．
(1)時刻$t=1$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ii) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(2)$p_1$を求めよ．
(3)$d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4)$p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．
国立 愛媛大学 2014年 第4問$n$を$0$以上の整数とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{ABCD}$の頂点の上を，以下の条件$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$を満たしながら移動する．
\mon[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる．
\mon[($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．
(1)時刻$t=1$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ii) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(2)$p_1$を求めよ．
(3)$d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4)$p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．
\mon[$(\mathrm{a})$] 時刻$t=0$において，点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$に，点$\mathrm{Q}$は頂点$\mathrm{B}$にいる．
\mon[($\mathrm{b})$] 時刻$t=n+1$において，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は各々，時刻$t=n$のときにいた頂点から，他の$3$つの頂点のいずれかに，それぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$t=n$における点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の間の距離を$d_n$とおく．$d_n$の値は$0$または$1$である．時刻$t=n$において$d_n=1$となる確率を$p_n$とする．
(1)時刻$t=1$とする．
(i) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{C}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(ii) 点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{B}$にいるとき，$d_1=1$となる点$\mathrm{Q}$の位置は何通りか．
(2)$p_1$を求めよ．
(3)$d_1+d_2=1$となる確率を求めよ．
(4)$p_{n+1}$を$p_n$で表し，$p_n$を求めよ．