「場合の数」について
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私立 慶應義塾大学 2015年 第2問硬貨を$1$枚投げて表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点，裏が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与えることを繰り返す．硬貨を$5$回投げ終わった時点で$\mathrm{A}$の得点は$3$点，$\mathrm{B}$の得点は$2$点であった．なお，硬貨は表裏が等しい確率で出るものとする．
(1)$6$回目以降，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$5$点を取るまでの各回の得点の与え方を樹形図で表すと，その場合の数は$[$11$][$12$]$通りであることがわかる．そして，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]}$である．
(2)$6$回目以降の各回の得点の与え方を次のように変更する．$\mathrm{A}$は$1,\ 3,\ 5$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋から，$\mathrm{B}$は$2,\ 4$と書かれたカードが$1$枚ずつ入った袋から，中を見ずに$1$枚取り出し，大きい数字の書かれたカードを取り出した方に$1$点を与える．このとき，各回ごとに$\mathrm{A}$が得点する確率は$\displaystyle \frac{[$17$]}{[$18$]}$であり，$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$19$][$20$]}{[$21$][$22$]}$である．
(3)$6$回目以降について，$\mathrm{A}$の袋は$(2)$と同じとし，$\mathrm{B}$の袋には$6$と書かれたカードを$1$枚追加して，$(2)$と同様に各回の得点の与え方を定める．このとき$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}$である．
(1)$6$回目以降，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$5$点を取るまでの各回の得点の与え方を樹形図で表すと，その場合の数は$[$11$][$12$]$通りであることがわかる．そして，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]}$である．
(2)$6$回目以降の各回の得点の与え方を次のように変更する．$\mathrm{A}$は$1,\ 3,\ 5$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋から，$\mathrm{B}$は$2,\ 4$と書かれたカードが$1$枚ずつ入った袋から，中を見ずに$1$枚取り出し，大きい数字の書かれたカードを取り出した方に$1$点を与える．このとき，各回ごとに$\mathrm{A}$が得点する確率は$\displaystyle \frac{[$17$]}{[$18$]}$であり，$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$19$][$20$]}{[$21$][$22$]}$である．
(3)$6$回目以降について，$\mathrm{A}$の袋は$(2)$と同じとし，$\mathrm{B}$の袋には$6$と書かれたカードを$1$枚追加して，$(2)$と同様に各回の得点の与え方を定める．このとき$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}$である．
私立 広島工業大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$9$人が無記名で$3$人$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちの$1$人に必ず投票するとき，開票結果は何通りあるか求めよ．
(2)$y=\sin 2x$のグラフを$x$軸方向へ$a$だけ，$y$軸方向へ$b$だけ平行移動したら，$\displaystyle y=-\cos \left( 2x+\frac{\pi}{3} \right)-2$のグラフと一致した．定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq a \leqq \pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺上に点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{A}(-8,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -3)$，$\mathrm{C}(2,\ 2)$のとき，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{P}$との距離の最小値を求めよ．
(1)$9$人が無記名で$3$人$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちの$1$人に必ず投票するとき，開票結果は何通りあるか求めよ．
(2)$y=\sin 2x$のグラフを$x$軸方向へ$a$だけ，$y$軸方向へ$b$だけ平行移動したら，$\displaystyle y=-\cos \left( 2x+\frac{\pi}{3} \right)-2$のグラフと一致した．定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし，$0 \leqq a \leqq \pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺上に点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{A}(-8,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -3)$，$\mathrm{C}(2,\ 2)$のとき，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{P}$との距離の最小値を求めよ．
私立 龍谷大学 2015年 第2問白玉$8$個，赤玉$2$個，青玉$1$個，黄玉$1$個がある．これら$12$個の玉を$4$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$にそれぞれ$3$個ずつ入れる．同じ色の玉は区別しないとして，次の問いに答えなさい．
(1)箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$のいずれにも白玉を$2$個ずつ入れる入れ方は何通りあるか求めなさい．
(2)白玉が$3$個入る箱と$1$個入る箱がそれぞれ$1$つずつになるような入れ方は何通りあるか求めなさい．
(1)箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$のいずれにも白玉を$2$個ずつ入れる入れ方は何通りあるか求めなさい．
(2)白玉が$3$個入る箱と$1$個入る箱がそれぞれ$1$つずつになるような入れ方は何通りあるか求めなさい．
私立 獨協大学 2015年 第1問次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．
(1)$a$を正の定数とするとき，方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする．$a=[$1$]$のとき，$2$直線の方程式はそれぞれ$[$2$]$，$[$3$]$となる．ただし，$[$2$]$，$[$3$]$は解答の順序を問わない．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$とする．$a=2$，$b=3$のとき，$c$のとりうる値の範囲は$[$4$]$である．また，$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき，$c=[$5$]$となる．
(3)$a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき，$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$[$6$]$である．
(4)関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 (1 \leqq x \leqq 27)$は，$x=[$7$]$で最大値$[$8$]$をとり，$x=[$9$]$で最小値$[$10$]$をとる．
(5)関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[$11$]$である．
(6)男性$8$人，女性$10$人からなる企業があるとする．このとき，男性$2$人，女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$[$12$]$通りである．また，この$5$人の役員を選んだとき，役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$[$13$]$通りである．
(7)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で，大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり，それぞれを$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{b}=([$14$])$，$\overrightarrow{c}=([$15$])$である．ただし，$[$14$]$，$[$15$]$は解答の順序を問わない．
(8)数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える．この数列の第$n$項を$a_n$で表すと，$a_n=[$16$]$となるので，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[$17$]n^3+[$18$]n^2+[$19$]n$と表すことができる．
(1)$a$を正の定数とするとき，方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする．$a=[$1$]$のとき，$2$直線の方程式はそれぞれ$[$2$]$，$[$3$]$となる．ただし，$[$2$]$，$[$3$]$は解答の順序を問わない．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$とする．$a=2$，$b=3$のとき，$c$のとりうる値の範囲は$[$4$]$である．また，$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき，$c=[$5$]$となる．
(3)$a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき，$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$[$6$]$である．
(4)関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 (1 \leqq x \leqq 27)$は，$x=[$7$]$で最大値$[$8$]$をとり，$x=[$9$]$で最小値$[$10$]$をとる．
(5)関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[$11$]$である．
(6)男性$8$人，女性$10$人からなる企業があるとする．このとき，男性$2$人，女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$[$12$]$通りである．また，この$5$人の役員を選んだとき，役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$[$13$]$通りである．
(7)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で，大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり，それぞれを$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{b}=([$14$])$，$\overrightarrow{c}=([$15$])$である．ただし，$[$14$]$，$[$15$]$は解答の順序を問わない．
(8)数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える．この数列の第$n$項を$a_n$で表すと，$a_n=[$16$]$となるので，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[$17$]n^3+[$18$]n^2+[$19$]n$と表すことができる．
私立 東北学院大学 2015年 第5問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人の男子と$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$3$人の女子が円卓のまわりに座るとき，次の問いに答えよ．
(1)並び方の総数を求めよ．
(2)男子と女子が交互に隣り合う並び方は何通りあるか．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{D}$とが隣り合わないように並ぶ確率を求めよ．
(1)並び方の総数を求めよ．
(2)男子と女子が交互に隣り合う並び方は何通りあるか．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{D}$とが隣り合わないように並ぶ確率を求めよ．
私立 岡山理科大学 2015年 第3問\begin{mawarikomi}{35mm}{
（図は省略）
}
正方形の紙の片面を右図のように$5$つの区画に分ける．中央の区画は正方形であり，そのまわりの$4$つの区画はそれぞれ互いに合同である．それぞれの区画を赤緑青黄黒の$5$色のうち$1$色で塗るとき，次の問いに答えよ．ただし，隣り合う区画は異なる色で塗るものとし，回転して一致するものは同じ塗り方とする．
(1)中央の区画を赤色で塗るとする．そのまわりの$4$つの区画を緑青黄黒の$4$色をすべて用いて塗り分ける方法は何通りあるか．
(2)赤緑青黄黒の$5$色をすべて用いて塗り分ける方法は何通りあるか．
(3)赤緑青黄の$4$色のうちいくつかを用いて塗り分ける方法は何通りあるか．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
正方形の紙の片面を右図のように$5$つの区画に分ける．中央の区画は正方形であり，そのまわりの$4$つの区画はそれぞれ互いに合同である．それぞれの区画を赤緑青黄黒の$5$色のうち$1$色で塗るとき，次の問いに答えよ．ただし，隣り合う区画は異なる色で塗るものとし，回転して一致するものは同じ塗り方とする．
(1)中央の区画を赤色で塗るとする．そのまわりの$4$つの区画を緑青黄黒の$4$色をすべて用いて塗り分ける方法は何通りあるか．
(2)赤緑青黄黒の$5$色をすべて用いて塗り分ける方法は何通りあるか．
(3)赤緑青黄の$4$色のうちいくつかを用いて塗り分ける方法は何通りあるか．
\end{mawarikomi}
私立 昭和大学 2015年 第2問以下の各問いに答えよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
私立 昭和大学 2015年 第2問以下の各問いに答えよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．
私立 旭川大学 2015年 第3問次の設問に答えよ．
(1)数字$1$～$5$を書いたカードが$1$枚ずつある．この中から$3$枚取って並べ，$3$ケタの整数を作るとき，整数はいくつできるか．
(2)男子$5$人，女子$4$人の中から$3$人の代表を選ぶとき，少なくとも女子$1$人を含む選び方は何通りあるか．
(3)学生$60$人のうち女子が$25 \, \%$である．女子が$30 \, \%$になるためには，男子を何人減らすべきか．
(4)$100$人が$100$個のパンを食べるが，大人は$1$人$3$個，子供は$3$人$1$個であった．大人，子供はそれぞれ何人か．
(1)数字$1$～$5$を書いたカードが$1$枚ずつある．この中から$3$枚取って並べ，$3$ケタの整数を作るとき，整数はいくつできるか．
(2)男子$5$人，女子$4$人の中から$3$人の代表を選ぶとき，少なくとも女子$1$人を含む選び方は何通りあるか．
(3)学生$60$人のうち女子が$25 \, \%$である．女子が$30 \, \%$になるためには，男子を何人減らすべきか．
(4)$100$人が$100$個のパンを食べるが，大人は$1$人$3$個，子供は$3$人$1$個であった．大人，子供はそれぞれ何人か．
私立 旭川大学 2015年 第4問赤球が$3$個，青球が$2$個，白球が$1$個ある．
(1)$6$つの球全部を$1$列に並べる並べ方は何通りあるか．
(2)$6$つの球全部を$1$列に並べるとき，青い球が続く並べ方は何通りあるか．
(3)$6$つの球全部を$1$列に並べるとき，赤い球が$2$個以上続く並べ方は何通りあるか．
(1)$6$つの球全部を$1$列に並べる並べ方は何通りあるか．
(2)$6$つの球全部を$1$列に並べるとき，青い球が続く並べ方は何通りあるか．
(3)$6$つの球全部を$1$列に並べるとき，赤い球が$2$個以上続く並べ方は何通りあるか．