「場合の数」について
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国立 岐阜大学 2015年 第1問$10$個の文字$\mathrm{N}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{W}$，$\mathrm{A}$を左から右へ横$1$列に並べる．以下の問に答えよ．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
国立 岐阜大学 2015年 第1問$10$個の文字$\mathrm{N}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{W}$，$\mathrm{A}$を左から右へ横$1$列に並べる．以下の問に答えよ．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
(1)この$10$個の文字の並べ方は全部で何通りあるか．
(2)「$\mathrm{NAGARA}$」という連続した$6$文字が現れるような並べ方は全部で何通りあるか．
(3)$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$の$3$文字が，この順に現れるような並べ方は全部で何通りあるか．ただし$\mathrm{N}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{W}$が連続しない場合も含める．
(4)同じ文字が隣り合わないような並べ方は全部で何通りあるか．
国立 島根大学 2015年 第1問下図のように，南北に$7$本，東西に$6$本の道がある．ただし，$\mathrm{C}$地点は通れないものとする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{O}$地点を出発し，$\mathrm{A}$地点を通り，$\mathrm{P}$地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．
(2)$\mathrm{O}$地点を出発し，$\mathrm{B}$地点を通り，$\mathrm{P}$地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．
(3)$\mathrm{O}$地点を出発し，$\mathrm{A}$地点と$\mathrm{B}$地点の両方を通り，$\mathrm{P}$地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．なお，同じ道を何度通ってもよいとする．
（図は省略）
(1)$\mathrm{O}$地点を出発し，$\mathrm{A}$地点を通り，$\mathrm{P}$地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．
(2)$\mathrm{O}$地点を出発し，$\mathrm{B}$地点を通り，$\mathrm{P}$地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．
(3)$\mathrm{O}$地点を出発し，$\mathrm{A}$地点と$\mathrm{B}$地点の両方を通り，$\mathrm{P}$地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．なお，同じ道を何度通ってもよいとする．
国立 島根大学 2015年 第1問下図のように，南北に$7$本，東西に$6$本の道がある．ただし，$\mathrm{C}$地点は通れないものとする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{O}$地点を出発し，$\mathrm{A}$地点を通り，$\mathrm{P}$地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．
(2)$\mathrm{O}$地点を出発し，$\mathrm{B}$地点を通り，$\mathrm{P}$地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．
(3)$\mathrm{O}$地点を出発し，$\mathrm{A}$地点と$\mathrm{B}$地点の両方を通り，$\mathrm{P}$地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．なお，同じ道を何度通ってもよいとする．
（図は省略）
(1)$\mathrm{O}$地点を出発し，$\mathrm{A}$地点を通り，$\mathrm{P}$地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．
(2)$\mathrm{O}$地点を出発し，$\mathrm{B}$地点を通り，$\mathrm{P}$地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．
(3)$\mathrm{O}$地点を出発し，$\mathrm{A}$地点と$\mathrm{B}$地点の両方を通り，$\mathrm{P}$地点へ最短距離で行く道順は何通りあるか．なお，同じ道を何度通ってもよいとする．
国立 豊橋技術科学大学 2015年 第4問$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が書かれた$6$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．
(1)これら$6$枚のカードの中から$4$枚を取って並べるとき，$4$桁の整数は全部で何通りできるか求めよ．
(2)これら$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(3)これら$6$枚のカードを$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(4)これら$6$枚のカードが箱に入っている．この箱の中から$2$枚のカードを一度に無作為に取り出す．大きい方の数字が$4$以下で，小さい方の数字が$2$以上である確率を求めよ．
(5)これら$6$枚のカードを無作為に横一列に並べるとき，$1$が$0$の隣にならない確率を求めよ．
(1)これら$6$枚のカードの中から$4$枚を取って並べるとき，$4$桁の整数は全部で何通りできるか求めよ．
(2)これら$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(3)これら$6$枚のカードを$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(4)これら$6$枚のカードが箱に入っている．この箱の中から$2$枚のカードを一度に無作為に取り出す．大きい方の数字が$4$以下で，小さい方の数字が$2$以上である確率を求めよ．
(5)これら$6$枚のカードを無作為に横一列に並べるとき，$1$が$0$の隣にならない確率を求めよ．
私立 立教大学 2015年 第2問$a$と$b$は$1$以上$5$以下の自然数とし，放物線$C:y=-x^2+ax-b$を定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C$が$x$軸と相異なる$2$点で交わるような$(a,\ b)$の組は何通りあるか求めよ．
(2)放物線$C$が$x$軸と相異なる$2$点で交わり，それらの$x$座標がともに整数であるような$(a,\ b)$の組は何通りあるか求めよ．
(3)$(2)$のとき，放物線$C$と$x$軸の$2$つの交点の間の距離の最大値と，そのときの$(a,\ b)$の組を求めよ．
(4)$k$は自然数であり，直線$y=kx+1$は放物線$C$と接している．このときの$k$の最大値と，$k$を最大にする$(a,\ b)$の組を求めよ．
(1)放物線$C$が$x$軸と相異なる$2$点で交わるような$(a,\ b)$の組は何通りあるか求めよ．
(2)放物線$C$が$x$軸と相異なる$2$点で交わり，それらの$x$座標がともに整数であるような$(a,\ b)$の組は何通りあるか求めよ．
(3)$(2)$のとき，放物線$C$と$x$軸の$2$つの交点の間の距離の最大値と，そのときの$(a,\ b)$の組を求めよ．
(4)$k$は自然数であり，直線$y=kx+1$は放物線$C$と接している．このときの$k$の最大値と，$k$を最大にする$(a,\ b)$の組を求めよ．
私立 倉敷芸術科学大学 2015年 第3問互いに異なる$5$個の球を$2$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$に分けて入れる．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の箱にそれぞれ少なくとも$1$個の球が入る分け方は何通りあるか．
私立 中央大学 2015年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)次の式を因数分解せよ．
\[ 2x^3+15x^2+6x-7 \]
(2)次の不等式を解け．
\[ 2^{2x}-2^{x+2}-32>0 \]
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，青玉$2$個を$1$列に並べるとき，並べ方は何通りあるか．
(4)次の値を求めよ．
\[ 8^{\log_2 5} \]
(5)次の条件をすべてみたす$2$次関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(0)=2,\quad f^\prime(0)=-5,\quad f^\prime(1)=1 \]
(6)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_{-1}^2 (2x^2-4x+3) \, dx \]
(1)次の式を因数分解せよ．
\[ 2x^3+15x^2+6x-7 \]
(2)次の不等式を解け．
\[ 2^{2x}-2^{x+2}-32>0 \]
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，青玉$2$個を$1$列に並べるとき，並べ方は何通りあるか．
(4)次の値を求めよ．
\[ 8^{\log_2 5} \]
(5)次の条件をすべてみたす$2$次関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(0)=2,\quad f^\prime(0)=-5,\quad f^\prime(1)=1 \]
(6)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_{-1}^2 (2x^2-4x+3) \, dx \]
私立 東京理科大学 2015年 第1問$m,\ n$を自然数とし，$m \geqq n$とする．$n$個の自然数の列で和が$m$となるようなものの場合の数を$f(m,\ n)$とする．例えば，$m=4$，$n=2$のときを考えてみると，和が$4$となる$2$つの自然数は$1,\ 3$と$2,\ 2$のみだから，和が$4$となる自然数の列は$1,\ 3$と$3,\ 1$と$2,\ 2$の$3$通りである．したがって，$f(4,\ 2)=3$である．このとき，以下の各値を求めよ．
(1)$f(7,\ 3)=[ア][イ]$
(2)$f(19,\ 4)=[ウ][エ][オ]$
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{11} f(12,\ k)=\kakkofour{カ}{キ}{ク}{ケ}$
(1)$f(7,\ 3)=[ア][イ]$
(2)$f(19,\ 4)=[ウ][エ][オ]$
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{11} f(12,\ k)=\kakkofour{カ}{キ}{ク}{ケ}$
私立 早稲田大学 2015年 第3問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$人の紳士から，それぞれの帽子を$1$つずつ受けとり，それらを再び$1$人に$1$つずつ配る．帽子は必ずしも元の持ち主に戻されるわけではない．このとき，以下の問に答えよ．
(1)次の空欄にあてはまる数を解答欄に記入せよ．
帽子を配る方法は全部で$[ア]$通りある．そのうち，$\mathrm{A}$が自分の帽子を受けとるのは$[イ]$通り，$\mathrm{B}$が自分の帽子を受けとるのは同じく$[イ]$通り，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がともに自分の帽子を受けとるのは$[ウ]$通りである．したがって，$\mathrm{A}$が自分の帽子を受けとらず，かつ$\mathrm{B}$も自分の帽子を受けとらない場合は$[エ]$通りである．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が誰も自分の帽子を受けとらない場合は何通りか．
(1)次の空欄にあてはまる数を解答欄に記入せよ．
帽子を配る方法は全部で$[ア]$通りある．そのうち，$\mathrm{A}$が自分の帽子を受けとるのは$[イ]$通り，$\mathrm{B}$が自分の帽子を受けとるのは同じく$[イ]$通り，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がともに自分の帽子を受けとるのは$[ウ]$通りである．したがって，$\mathrm{A}$が自分の帽子を受けとらず，かつ$\mathrm{B}$も自分の帽子を受けとらない場合は$[エ]$通りである．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が誰も自分の帽子を受けとらない場合は何通りか．