「場合の数」について
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公立 大阪市立大学 2016年 第2問さいころの$6$つの面の中から$2$面を選んで赤色に塗る．残った$4$面の中から$2$面を選んで黒色に塗る．最後に残った$2$面は白色に塗る．なお，色を塗っても，さいころの目は判別できるものとする．このとき次の問いに答えよ．
(1)上のような各面への色の塗り分け方は全部で何通りあるか．
(2)赤い面が向かい合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．
(3)赤い面が隣り合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．
(4)同じ色の面がすべて隣り合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．
(5)同じ色の面がすべて向かい合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．
(1)上のような各面への色の塗り分け方は全部で何通りあるか．
(2)赤い面が向かい合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．
(3)赤い面が隣り合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．
(4)同じ色の面がすべて隣り合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．
(5)同じ色の面がすべて向かい合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．
公立 尾道市立大学 2016年 第3問$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の数字が書いてある$7$個の石がある．このとき次の問いに答えなさい．
(1)これらの石から$3$個の石を選んで並べて，$3$桁の整数を作るとき$5$の倍数は何個あるか答えなさい．
(2)$7$個の石を円周上に並べるとき，$0$の両端に$1,\ 2$が並ぶ並べ方は何通りあるか答えなさい．
(3)$7$個の石を$1$列に並べるとき，$0,\ 1,\ 2$がどれも隣り合わない並べ方は何通りあるか答えなさい．
(1)これらの石から$3$個の石を選んで並べて，$3$桁の整数を作るとき$5$の倍数は何個あるか答えなさい．
(2)$7$個の石を円周上に並べるとき，$0$の両端に$1,\ 2$が並ぶ並べ方は何通りあるか答えなさい．
(3)$7$個の石を$1$列に並べるとき，$0,\ 1,\ 2$がどれも隣り合わない並べ方は何通りあるか答えなさい．
公立 釧路公立大学 2016年 第4問次の問いに答えよ．
(1)大中小$3$つのさいころを投げるとき，出る$3$つの目の積が偶数となる場合は何通りあるか．
(2)$1$から$25$までの整数が$1$つずつ書かれた$25$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．
(i) $2$枚のカードをもとに戻さず順に取り出すとき，$2$枚目が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(ii) $2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$2$枚のカードの整数の和が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(1)大中小$3$つのさいころを投げるとき，出る$3$つの目の積が偶数となる場合は何通りあるか．
(2)$1$から$25$までの整数が$1$つずつ書かれた$25$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．
(i) $2$枚のカードをもとに戻さず順に取り出すとき，$2$枚目が$5$の倍数になる確率を求めよ．
(ii) $2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$2$枚のカードの整数の和が$5$の倍数になる確率を求めよ．
国立 徳島大学 2015年 第4問$1$から$9$までの番号が書かれた球が$1$個ずつ計$9$個ある．これらの球を$3$個ずつ$3$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に入れる．次のような球の入れ方は何通りか．
(1)箱$\mathrm{A}$にある球の番号がいずれも$3$の倍数になる．
(2)箱$\mathrm{A}$にある$3$個の球の番号を$3$で割った余りがいずれも異なる．
(3)箱$\mathrm{A}$にある$3$個の球の番号の和が$3$の倍数になる．
(4)いずれの箱についても$3$個の球の番号の和が$3$の倍数になる．
(1)箱$\mathrm{A}$にある球の番号がいずれも$3$の倍数になる．
(2)箱$\mathrm{A}$にある$3$個の球の番号を$3$で割った余りがいずれも異なる．
(3)箱$\mathrm{A}$にある$3$個の球の番号の和が$3$の倍数になる．
(4)いずれの箱についても$3$個の球の番号の和が$3$の倍数になる．
国立 徳島大学 2015年 第4問$1$から$10$までの番号が書かれた球が$1$個ずつ計$10$個ある．これらの球を$3$個ずつ$3$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に入れて，残った球の番号を$a$とする．次のような球の入れ方は何通りか．
(1)$a=5$であって，箱$\mathrm{A}$にある球の番号がいずれも$3$の倍数になる．
(2)$a=10$であって，箱$\mathrm{A}$にある$3$個の球の番号の和が$3$の倍数になる．
(3)いずれの箱についても$3$個の球の番号の和が$3$の倍数になる．
(1)$a=5$であって，箱$\mathrm{A}$にある球の番号がいずれも$3$の倍数になる．
(2)$a=10$であって，箱$\mathrm{A}$にある$3$個の球の番号の和が$3$の倍数になる．
(3)いずれの箱についても$3$個の球の番号の和が$3$の倍数になる．
国立 広島大学 2015年 第5問$m,\ n$を自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)$m \geqq 2$，$n \geqq 2$とする．異なる$m$種類の文字から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき，ちょうど$2$種類の文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(2)$n \geqq 3$とする．$3$種類の文字$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき$a,\ b,\ c$すべての文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(3)$n \geqq 3$とする．$n$人を最大$3$組までグループ分けする．このときできたグループ数が$2$である確率$p_n$を求めよ．ただし，どのグループ分けも同様に確からしいとする．
たとえば，$n=3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人をグループ分けする方法は
$\{(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{B})\}$
$\{(\mathrm{B},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{A})\},\quad \{(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\}$
の$5$通りであるので，$\displaystyle p_3=\frac{3}{5}$である．
(4)$(3)$の確率$p_n$が$\displaystyle \frac{1}{3}$以下となるような$n$の範囲を求めよ．
(1)$m \geqq 2$，$n \geqq 2$とする．異なる$m$種類の文字から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき，ちょうど$2$種類の文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(2)$n \geqq 3$とする．$3$種類の文字$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき$a,\ b,\ c$すべての文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(3)$n \geqq 3$とする．$n$人を最大$3$組までグループ分けする．このときできたグループ数が$2$である確率$p_n$を求めよ．ただし，どのグループ分けも同様に確からしいとする．
たとえば，$n=3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人をグループ分けする方法は
$\{(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{B})\}$
$\{(\mathrm{B},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{A})\},\quad \{(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\}$
の$5$通りであるので，$\displaystyle p_3=\frac{3}{5}$である．
(4)$(3)$の確率$p_n$が$\displaystyle \frac{1}{3}$以下となるような$n$の範囲を求めよ．
国立 九州工業大学 2015年 第4問$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の玉があり，これらのうち，$1,\ 2,\ 3$が書かれた玉をそれぞれ玉$1$，玉$2$，玉$3$と呼ぶ．以下の問いに答えよ．
(1)$9$個の玉から$3$個を選んで$1$つの箱に入れる．この入れ方は何通りあるか．
(2)$(1)$の入れ方のうち，箱に，玉$1$と玉$2$がいっしょに含まれず，玉$1$と玉$3$もいっしょに含まれないものは何通りあるか．
(3)$9$個の玉を区別できない$3$つの箱に分けて入れる．ただし，各箱にはそれぞれ$3$個ずつの玉を入れるものとする．この入れ方は何通りあるか．
(4)$(3)$の入れ方のうち，どの箱にも，玉$1$と玉$2$がいっしょに含まれず，玉$1$と玉$3$もいっしょに含まれないものは何通りあるか．
(1)$9$個の玉から$3$個を選んで$1$つの箱に入れる．この入れ方は何通りあるか．
(2)$(1)$の入れ方のうち，箱に，玉$1$と玉$2$がいっしょに含まれず，玉$1$と玉$3$もいっしょに含まれないものは何通りあるか．
(3)$9$個の玉を区別できない$3$つの箱に分けて入れる．ただし，各箱にはそれぞれ$3$個ずつの玉を入れるものとする．この入れ方は何通りあるか．
(4)$(3)$の入れ方のうち，どの箱にも，玉$1$と玉$2$がいっしょに含まれず，玉$1$と玉$3$もいっしょに含まれないものは何通りあるか．
国立 小樽商科大学 2015年 第3問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)整数$m \geqq 2015$に対し，
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{{(2m)}^2-1}=[ア] \]
(2)下図のような道に沿って$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで進むとき，最短経路は何通りあるかを求めると$[イ]$通り．
（図は省略）
(3)中心が$\mathrm{A}(1,\ 0)$にある半径$r (0<r<1)$の円に原点$\mathrm{O}$から$2$本の接線を引く．それぞれの接点と中心$\mathrm{A}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四角形の面積の最大値$M$とそのときの$r$の値を求めると$(M,\ r)=[ウ]$．
(1)整数$m \geqq 2015$に対し，
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{{(2m)}^2-1}=[ア] \]
(2)下図のような道に沿って$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで進むとき，最短経路は何通りあるかを求めると$[イ]$通り．
（図は省略）
(3)中心が$\mathrm{A}(1,\ 0)$にある半径$r (0<r<1)$の円に原点$\mathrm{O}$から$2$本の接線を引く．それぞれの接点と中心$\mathrm{A}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四角形の面積の最大値$M$とそのときの$r$の値を求めると$(M,\ r)=[ウ]$．
国立 群馬大学 2015年 第1問$\mathrm{A}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$7$個の文字すべてを$1$列に並べる．
(1)この並べ方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$が隣り合うような並べ方は，何通りあるか．
(3)$\mathrm{C}$が$\mathrm{D}$よりも左にあり，かつ$\mathrm{E}$が$\mathrm{D}$よりも右にあるような並べ方は，何通りあるか．
(1)この並べ方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$が隣り合うような並べ方は，何通りあるか．
(3)$\mathrm{C}$が$\mathrm{D}$よりも左にあり，かつ$\mathrm{E}$が$\mathrm{D}$よりも右にあるような並べ方は，何通りあるか．
国立 群馬大学 2015年 第1問$\mathrm{A}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$7$個の文字すべてを$1$列に並べる．
(1)この並べ方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$が隣り合うような並べ方は，何通りあるか．
(3)$\mathrm{C}$が$\mathrm{D}$よりも左にあり，かつ$\mathrm{E}$が$\mathrm{D}$よりも右にあるような並べ方は，何通りあるか．
(1)この並べ方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$が隣り合うような並べ方は，何通りあるか．
(3)$\mathrm{C}$が$\mathrm{D}$よりも左にあり，かつ$\mathrm{E}$が$\mathrm{D}$よりも右にあるような並べ方は，何通りあるか．