「場合の数」について
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国立 高知大学 2010年 第1問次のような道路の図において，最も小さな正方形の1辺の長さは1mであるとする．このとき，次の問いに答えよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)A地点からB地点まで最短距離で行く経路は何通りあるかを求めよ．
(2)A地点からB地点まで最短距離で行く経路のうち，C地点を通らないものは何通りあるかを求めよ．
(3)A地点からB地点まで最短距離で行く経路のうち，その経路に含まれる最も長い直線路の長さが5m以上であるものは何通りあるかを求めよ．
(4)A地点からB地点まで最短距離で行く経路のうち，その経路に含まれる最も長い直線路の長さが4m以上であるものは何通りあるかを求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)A地点からB地点まで最短距離で行く経路は何通りあるかを求めよ．
(2)A地点からB地点まで最短距離で行く経路のうち，C地点を通らないものは何通りあるかを求めよ．
(3)A地点からB地点まで最短距離で行く経路のうち，その経路に含まれる最も長い直線路の長さが5m以上であるものは何通りあるかを求めよ．
(4)A地点からB地点まで最短距離で行く経路のうち，その経路に含まれる最も長い直線路の長さが4m以上であるものは何通りあるかを求めよ．
国立 鳴門教育大学 2010年 第3問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の記号がつけられた$3$つの袋に，赤玉$5$個，白玉$6$個すべてを入れる場合の数について考える．次の問いに答えよ．ただし，同じ色の玉は区別しないものとする．
(1)空になる袋があってもよいとすると，全部で何通りの入れ方があるか．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$それぞれの袋に，赤玉$1$個と白玉$1$個は少なくとも入っているようにする入れ方は何通りあるか．
(3)空の袋がないようにする入れ方は何通りあるか．
(1)空になる袋があってもよいとすると，全部で何通りの入れ方があるか．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$それぞれの袋に，赤玉$1$個と白玉$1$個は少なくとも入っているようにする入れ方は何通りあるか．
(3)空の袋がないようにする入れ方は何通りあるか．
私立 早稲田大学 2010年 第1問数字$k (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$が記入されたカードがそれぞれ$k$枚あり，さらに，数字$0$が記入されたカードが$1$枚，合計$16$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを同時に取り出し，$2$枚のカードの数が同じ場合は$1$点，異なる場合は大きい方の数の点を得る．ただし，$0$を含む場合は大きい方の数の$2$倍の点を得る．このとき，次の各問に答えよ．
(1)得点が$1$点となる場合は何通りあるか．
(2)得点が$4$点以上となる確率を求めよ．
(3)得点が偶数となる確率を求めよ．
(1)得点が$1$点となる場合は何通りあるか．
(2)得点が$4$点以上となる確率を求めよ．
(3)得点が偶数となる確率を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$8$名のクラスのうち，$3$名が男子学生，$5$名が女子学生とする．グループ研究を課すことになり，クラスを$3$つのグループに分けるとする．ただし，それぞれのグループの人数は$2$人以上，$4$人以下とする．
(i) 学生の性別に関係なくグループ分けをする方法は
\[ [ハ][ヒ][$0$] \text{通り} \]
ある．
(ii) 男子学生のみ，あるいは女子学生のみで構成されるグループを含まないグループ分けの方法は
\[ [フ][ヘ][$0$] \text{通り} \]
ある．
(2)$7$つの異なる映画を$4$回上映する場合を考える．ただし，$1$回の上映に$1$つの映画を上映し，上映する順番は区別しないこととする．
(i) 同じ映画が複数回上映されない場合，上映する場合の数は
\[ [ホ][$5$] \text{通り} \]
ある．
(ii) 同じ映画を複数回上映してもよい場合，上映する場合の数は
\[ [マ][ミ][$0$] \text{通り} \]
ある．
(1)$8$名のクラスのうち，$3$名が男子学生，$5$名が女子学生とする．グループ研究を課すことになり，クラスを$3$つのグループに分けるとする．ただし，それぞれのグループの人数は$2$人以上，$4$人以下とする．
(i) 学生の性別に関係なくグループ分けをする方法は
\[ [ハ][ヒ][$0$] \text{通り} \]
ある．
(ii) 男子学生のみ，あるいは女子学生のみで構成されるグループを含まないグループ分けの方法は
\[ [フ][ヘ][$0$] \text{通り} \]
ある．
(2)$7$つの異なる映画を$4$回上映する場合を考える．ただし，$1$回の上映に$1$つの映画を上映し，上映する順番は区別しないこととする．
(i) 同じ映画が複数回上映されない場合，上映する場合の数は
\[ [ホ][$5$] \text{通り} \]
ある．
(ii) 同じ映画を複数回上映してもよい場合，上映する場合の数は
\[ [マ][ミ][$0$] \text{通り} \]
ある．
私立 北海学園大学 2010年 第2問図のように道路が碁盤の目のようになった街がある． \\
次のそれぞれの場合で，最短距離で行く道順は何通り \\
あるかを求めよ．
\img{28_3169_2010_1}{25}
(1)$(ⅰ)$ $\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ行く場合． \\
$(ⅱ)$ $\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$を通って$\mathrm{B}$へ行く場合．
(2)$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$または$\mathrm{E}$を通って$\mathrm{B}$へ行く場合．
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$も$\mathrm{D}$も通らずに$\mathrm{B}$へ行く場合．
次のそれぞれの場合で，最短距離で行く道順は何通り \\
あるかを求めよ．
\img{28_3169_2010_1}{25}
(1)$(ⅰ)$ $\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$へ行く場合． \\
$(ⅱ)$ $\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$を通って$\mathrm{B}$へ行く場合．
(2)$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$または$\mathrm{E}$を通って$\mathrm{B}$へ行く場合．
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$も$\mathrm{D}$も通らずに$\mathrm{B}$へ行く場合．
私立 北海学園大学 2010年 第2問図のように立方体の隣接する$3$つの面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$，$\mathrm{CFGD}$上にそれぞれ縦横等間隔の線を描き，その線の上を通ることができるとする．次のそれぞれの場合に最短距離で通る道順は何通りあるかを求めよ．
（図は省略）
(1)面$\mathrm{ABCD}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$へ行く場合．
(2)面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$へ行く場合．
(3)面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$，$\mathrm{CFGD}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$へ行く場合．
（図は省略）
(1)面$\mathrm{ABCD}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$へ行く場合．
(2)面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$へ行く場合．
(3)面$\mathrm{ABCD}$，$\mathrm{BEFC}$，$\mathrm{CFGD}$上で$\mathrm{A}$から$\mathrm{F}$へ行く場合．
私立 北海道文教大学 2010年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 4x^2+8x-21 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2+5x+3=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 2-4x \geqq -2x>3x-2 \]
(4)$x=\sqrt{7+2 \sqrt{10}},\ y=\sqrt{7-2 \sqrt{10}}$のとき，次の式の値を求めなさい．
(i) $x+y,\ xy$
(ii) $x^3+y^3$
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，次のような並び方は何通りありますか．
(i) 女子$3$人が隣り合う
(ii) 女子どうしが隣り合わない
(6)$1$個のさいころを繰り返し$3$回投げるとき，目の最小値が$2$以下である確率を求めなさい．
(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 4x^2+8x-21 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2+5x+3=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 2-4x \geqq -2x>3x-2 \]
(4)$x=\sqrt{7+2 \sqrt{10}},\ y=\sqrt{7-2 \sqrt{10}}$のとき，次の式の値を求めなさい．
(i) $x+y,\ xy$
(ii) $x^3+y^3$
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，次のような並び方は何通りありますか．
(i) 女子$3$人が隣り合う
(ii) 女子どうしが隣り合わない
(6)$1$個のさいころを繰り返し$3$回投げるとき，目の最小値が$2$以下である確率を求めなさい．
私立 北海道文教大学 2010年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 6x^2-xy-12y^2 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2-x-1=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 3x-1 \leqq x \leqq 2x+1 \]
(4)$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}},\ y=\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$のとき，次の式の値を求めなさい．
(i) $x+y,\ xy$
(ii) $3x^2-5xy+3y^2$
(5)男子$6$人，女子$4$人から$4$人の代表を選ぶとき，次のような選び方は何通りありますか．
(i) 男子$2$人，女子$2$人を選ぶ
(ii) 特定の$2$人$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が必ず選ばれる
(6)袋の中に白球$5$個，赤球$3$個が入っている．この袋から同時に$3$個の球を取り出すとき，白球が$2$個，赤球が$1$個出る確率を求めなさい．
(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 6x^2-xy-12y^2 \]
(2)次の$2$次方程式を解きなさい．
\[ x^2-x-1=0 \]
(3)次の連立不等式を解きなさい．
\[ 3x-1 \leqq x \leqq 2x+1 \]
(4)$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}},\ y=\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$のとき，次の式の値を求めなさい．
(i) $x+y,\ xy$
(ii) $3x^2-5xy+3y^2$
(5)男子$6$人，女子$4$人から$4$人の代表を選ぶとき，次のような選び方は何通りありますか．
(i) 男子$2$人，女子$2$人を選ぶ
(ii) 特定の$2$人$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が必ず選ばれる
(6)袋の中に白球$5$個，赤球$3$個が入っている．この袋から同時に$3$個の球を取り出すとき，白球が$2$個，赤球が$1$個出る確率を求めなさい．
私立 広島工業大学 2010年 第5問次の各問いに答えよ．
(1)方程式$x^2-x-8=|x|$を解け．
(2)$xy+3x-y-3=5$を満たす整数$x,\ y$の組を求めよ．
(3)$1$日の天気を晴れ，曇り，雨の$3$通りだとする．$4$日間で，晴れの日がちょうど$2$日ある場合は何通りあるか．
(1)方程式$x^2-x-8=|x|$を解け．
(2)$xy+3x-y-3=5$を満たす整数$x,\ y$の組を求めよ．
(3)$1$日の天気を晴れ，曇り，雨の$3$通りだとする．$4$日間で，晴れの日がちょうど$2$日ある場合は何通りあるか．
公立 名古屋市立大学 2010年 第3問$1$から$9$の数字がそれぞれ書かれた$9$枚のカードから，$\mathrm{A}$グループとして$3$枚，$\mathrm{B}$グループとして$4$枚のカードを選ぶ．次の問いに答えよ．
(1)このような選び方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$グループの数字がすべて$4$以下になる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$グループの最大数が$\mathrm{B}$グループの最小数より小さい場合の得点を$\mathrm{A}$グループの数字の和とし，そうでない場合は得点を$0$とする．得点の期待値を求めよ．
(1)このような選び方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$グループの数字がすべて$4$以下になる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$グループの最大数が$\mathrm{B}$グループの最小数より小さい場合の得点を$\mathrm{A}$グループの数字の和とし，そうでない場合は得点を$0$とする．得点の期待値を求めよ．