「場合の数」について
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国立 岡山大学 2010年 第1問男性$\text{M}_1,\ \cdots,\ \text{M}_4$の4人と女性$\text{F}_1,\ \cdots,\ \text{F}_4$の4人が，横一列に並んだ座席$\text{S}_1,\ \cdots,\ \text{S}_8$に座る場合を考える．
(1)同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか．
(2)(1)の座り方の中で，M$_1$の両隣りがF$_1$とF$_2$になる座り方は何通りあるか．
(3)(1)の座り方の中で，M$_1$とF$_1$が隣り合わない座り方は何通りあるか．
(1)同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか．
(2)(1)の座り方の中で，M$_1$の両隣りがF$_1$とF$_2$になる座り方は何通りあるか．
(3)(1)の座り方の中で，M$_1$とF$_1$が隣り合わない座り方は何通りあるか．
国立 岡山大学 2010年 第1問男性$\text{M}_1,\ \cdots,\ \text{M}_4$の4人と女性$\text{F}_1,\ \cdots,\ \text{F}_4$の4人が，横一列に並んだ座席$\text{S}_1,\ \cdots,\ \text{S}_8$に座る場合を考える．
(1)同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか．
(2)(1)の座り方の中で，M$_1$の両隣りがF$_1$とF$_2$になる座り方は何通りあるか．
(3)(1)の座り方の中で，M$_1$とF$_1$が隣り合わない座り方は何通りあるか．
(1)同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか．
(2)(1)の座り方の中で，M$_1$の両隣りがF$_1$とF$_2$になる座り方は何通りあるか．
(3)(1)の座り方の中で，M$_1$とF$_1$が隣り合わない座り方は何通りあるか．
国立 埼玉大学 2010年 第2問$a,\ b,\ c$を9以下の自然数とし，2次式$f(x)=ax^2-bx+c$を考える．このとき，$f(x)$が次の条件を満たすような組$(a,\ b,\ c)$はそれぞれ何通りあるか．
(1)$f(1)=0$である．
(2)$f(1)=0$かつ$f(2)=0$である．
(3)$f(1)=0$または$f(2)=0$である．
(4)2次方程式$f(x)=0$は重解を持つ．
(1)$f(1)=0$である．
(2)$f(1)=0$かつ$f(2)=0$である．
(3)$f(1)=0$または$f(2)=0$である．
(4)2次方程式$f(x)=0$は重解を持つ．
国立 弘前大学 2010年 第6問$\mathrm{G},\ \mathrm{O},\ \mathrm{U},\ \mathrm{K},\ \mathrm{A},\ \mathrm{K},\ \mathrm{U}$の$7$文字を$1$列に並べるとき，同じ文字が隣り合わないような並べ方は何通りあるか．
国立 和歌山大学 2010年 第2問$xy$平面上を原点$(0,\ 0)$から出発して動く点Pがある．1個のさいころを投げ，$1,\ 2$のいずれかの目が出れば点Pを$x$軸の正の方向に1動かし，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目が出れば点Pを$y$軸の正の方向に1動かす．これを点Pの$x$座標，$y$座標のいずれか一方が3になるまでくり返すことを操作Aとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．
(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第6問A，B，C，D，E，F，G，Hの8人を2人ずつ4部屋に分けることにする．部屋は1階の11号室と12号室，2階の21号室と22号室の4つである．この8人で部屋割り表を作る．次の問いに答えよ．
(1)全部で何通りの部屋割り表を作ることができるか．
(2)(1)の部屋割り表の中で，AとBが同じ部屋になる組み合わせは何通りあるか．
(3)8人で公平にくじを引き，部屋を決める．その結果，AとBが異なる階の部屋に分かれる確率を求めよ．
(1)全部で何通りの部屋割り表を作ることができるか．
(2)(1)の部屋割り表の中で，AとBが同じ部屋になる組み合わせは何通りあるか．
(3)8人で公平にくじを引き，部屋を決める．その結果，AとBが異なる階の部屋に分かれる確率を求めよ．
国立 和歌山大学 2010年 第2問$xy$平面上を原点$(0,\ 0)$から出発して動く点Pがある．1個のさいころを投げ，$1,\ 2$のいずれかの目が出れば点Pを$x$軸の正の方向に1動かし，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目が出れば点Pを$y$軸の正の方向に1動かす．これを点Pの$x$座標，$y$座標のいずれか一方が3になるまでくり返すことを操作Aとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．
(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．
国立 島根大学 2010年 第2問$a,\ a,\ b,\ b,\ c,\ d,\ e$の7個の文字すべてを1列に並べるとき，次の問いに答えよ．
(1)並べ方は全部で何通りあるか．
(2)2つの$a$が隣り合う並べ方は何通りあるか．
(3)2つの$a$が隣り合わず，かつ2つの$b$も隣り合わない並べ方は何通りあるか．
(1)並べ方は全部で何通りあるか．
(2)2つの$a$が隣り合う並べ方は何通りあるか．
(3)2つの$a$が隣り合わず，かつ2つの$b$も隣り合わない並べ方は何通りあるか．
国立 福島大学 2010年 第2問図1のような11段の階段がある．この階段を一足で1段上っても2段上ってもよい．また，一足で1段上ることと一足で2段上ることを混ぜて上ってもよい．これらの上り方以外は認められず，連続して2段ずつは上れないものとする．次の問いに答えなさい．
(1)ちょうど5段上る上り方は何通りか求めなさい．
(2)11段上る上り方は何通りか求めなさい．
（図は省略）
(1)ちょうど5段上る上り方は何通りか求めなさい．
(2)11段上る上り方は何通りか求めなさい．
（図は省略）
国立 佐賀大学 2010年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)$n$と$r$を自然数とする．
\mon[(i)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-1} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(ii)] $n \geqq 3,\ r \leqq n-2$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-2} \text{C}_{r-1}+{}_{n-2} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(iii)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，$\displaystyle {}_n \text{C}_{r} = \sum_{k=1}^{n-r} {}_{n-k} \text{C}_{r-1}+{}_r \text{C}_r$を示せ．
(2)「あるアイスクリーム店で，6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという，格安3点セールを実施している．異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ．」という問題に対して，以下のような答案があった．これを詳しく解説せよ．\\
(答案)\\
まず$4+3+2+1=10$である．\\
次に$3+2+1=6$となる．\\
さらに$2+1=3$である．\\
最後に1がある．\\
よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは20通りである．
(1)$n$と$r$を自然数とする．
\mon[(i)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-1} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(ii)] $n \geqq 3,\ r \leqq n-2$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-2} \text{C}_{r-1}+{}_{n-2} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(iii)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，$\displaystyle {}_n \text{C}_{r} = \sum_{k=1}^{n-r} {}_{n-k} \text{C}_{r-1}+{}_r \text{C}_r$を示せ．
(2)「あるアイスクリーム店で，6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという，格安3点セールを実施している．異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ．」という問題に対して，以下のような答案があった．これを詳しく解説せよ．\\
(答案)\\
まず$4+3+2+1=10$である．\\
次に$3+2+1=6$となる．\\
さらに$2+1=3$である．\\
最後に1がある．\\
よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは20通りである．