$P$は正$n$角形$(n \geqq 6)$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$P$の異なる2本の対角線の組で，$P$の頂点を共有するものは何通りあるか求めなさい．
(2)$P$の異なる2本の対角線の組で，$P$の頂点以外の点を共有するものは何通りあるか求めなさい．
(3)$P$の異なる2本の対角線の組で，共有点を持たないものは何通りあるか求めなさい．

$x+y+z=n$（$n$は正の整数）をみたす正の整数の組$(x,\ y,\ z)$について，次の問いに答えよ．

(1)$n=19$のとき，$(x,\ y,\ z)$の組は何通りあるか．そのうち，$x,\ y,\ z$のいずれか$2$つが等しい組，$x \leqq y \leqq z$をみたす組はそれぞれ何通りあるか．
(2)$n$が$6$の倍数であるとき，$x \leqq y \leqq z$をみたす$(x,\ y,\ z)$の組は何通りあるか．

空間内に点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 2)$がある．点$\mathrm{P}$は$\mathrm{O}$から出発し，一回につき$x$軸，$y$軸，$z$軸いずれか一つの方向に長さ$1$だけ移動する．

(1)$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$へ移動する最短経路は何通りあるか求めよ．
(2)さいころを投げて$1,\ 2,\ 3$の目が出たら$\mathrm{P}$は$x$軸正の方向に移動し，$4,\ 5$の目が出たら$y$軸正の方向に移動し，$6$の目が出たら$z$軸正の方向に移動するものとする．さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．
(3)$(2)$と同じルールで，さいころを$6$回投げて$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 1)$を通って$\mathrm{A}$に到達する確率を求めよ．

$n$を$3$以上の整数とする．$2n$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 2n$から無作為に異なる$3$個の数を選ぶとき，次の問いに答えよ．

(1)$3$個の数を小さい順に並べた数列が，公差$2$の等差数列である選び方は何通りあるか．
(2)$3$個の数を小さい順に並べた数列が，等差数列である確率を求めよ．

下図において，北隅のAの文字から南隅のAの文字まで，南東または南西に文字をたどって最短で進むとき，経路上の文字を読むとABRACADABRAとなる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後，「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか．
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか．

\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）

下図において，北隅のAの文字から南隅のAの文字まで，南東または南西に文字をたどって最短で進むとき，経路上の文字を読むとABRACADABRAとなる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)下図で北隅のAから南隅のAまで最短の進み方(以後，「ABRACADABRAの読み方」という)は全部で何通りあるか．
(2)下図の$T$地点を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(3)下図の$T$地点と$U$地点の両方を通るABRACADABRAの読み方は何通りあるか．
(4)下図の$T$地点と$U$地点のどちらも通らないABRACADABRAの読み方は何通りあるか．

\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）

右の図のような格子状の道および斜めの道がある．次の場合の最短経路は何通りあるか．ただし，小さいマス目はすべて合同な正方形とする．
（図は省略）

(1)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで行く．
(2)$\mathrm{A}$から斜めの道を通らずに$\mathrm{B}$まで行く．
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{C}$まで行く．

$1$から$10$までの整数の中から異なる$3$個の整数を取り出す．

(1)$3$個の整数の取り出し方は全部で何通りあるか．
(2)取り出した$3$個の整数の和が偶数になる場合は何通りあるか．
(3)取り出した$3$個の整数の和が$10$以上の偶数になる場合は何通りあるか．

$1$から$9$までの整数の中から異なる$3$つの整数$a,\ b,\ c$を選ぶとき，次の問いに答えよ．ただし，$a<b<c$とする．

(1)$a,\ b,\ c$の積が奇数になる選び方は何通りあるか．
(2)$a,\ b,\ c$の積が$3$の倍数になる選び方は何通りあるか．
(3)$a,\ b,\ c$の積が$9$の倍数になる選び方は何通りあるか．

次の問に答えよ．

(1)始発$\mathrm{A}$駅から終着$\mathrm{H}$駅まで両端の駅を含み$8$駅ある観光鉄道を考える．$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅まで，$1$日$3$本の異なるイベント列車が運行される．すべてのイベント列車に，それぞれ少なくとも$1$区間以上乗車して，$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅へ至る方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車であり，追い越しは起こらないものとする．
（図は省略）
(2)$(1)$の場合で，すべての列車に乗車する必要はないとすれば，乗り換えを含めて$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅へ至る方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車とする．
(3)$7$駅ある環状鉄道で，$3$本のイベント列車が運行される．乗車するとスタンプが押せる．$3$本のイベント列車に各$1$回ずつ乗車し，それぞれ少なくとも$1$区間以上乗車してスタンプを集める場合，乗車駅$\mathrm{A}$から$1$周して元の乗車駅$\mathrm{A}$で降車する方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車であり，追い越しは起こらないものとし，乗る順番も区別するものとする．
（図は省略）