「場合の数」について
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国立 群馬大学 2012年 第2問$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第3問$n$を自然数とし，縦が3，横が$2n$の長方形の盤上全体を，隣り合う2辺の長さが1と2の長方形のタイルですき間なく敷きつめるとき，その敷きつめ方の場合の数を$a_n$とする．そのうち左端に3つのタイルが接している場合の敷きつめ方の場合の数を$x_n$とし，それ以外の敷きつめ方の場合の数を$y_n$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_n,\ x_{n+1},\ y_{n+1}$を$x_n,\ y_n$を用いて表せ．
(3)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表し，さらに$a_4$の値を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_n,\ x_{n+1},\ y_{n+1}$を$x_n,\ y_n$を用いて表せ．
(3)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n$を用いて表し，さらに$a_4$の値を求めよ．
国立 徳島大学 2012年 第4問表と裏のあるコイン14枚を一列に並べる．隣接する2枚の組すべてに着目し，表表，裏裏，表裏，裏表となる組の個数をそれぞれ数える．例えば，「表表表裏裏表表表裏裏裏裏裏裏」の順に並べた場合，表表は4個，裏裏は6個，表裏は2個，裏表は1個である．次の問いに答えよ．
(1)表表が0個，裏裏が11個，表裏が1個，裏表が1個となる並べ方は何通りか．
(2)表表が0個，裏裏が9個，表裏が2個，裏表が2個となる並べ方は何通りか．
(3)表表が2個，裏裏が6個，表裏が3個，裏表が2個となる並べ方は何通りか．
(1)表表が0個，裏裏が11個，表裏が1個，裏表が1個となる並べ方は何通りか．
(2)表表が0個，裏裏が9個，表裏が2個，裏表が2個となる並べ方は何通りか．
(3)表表が2個，裏裏が6個，表裏が3個，裏表が2個となる並べ方は何通りか．
国立 島根大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$または$3$を，順序を考慮して合計$n$になるまで加える方法が何通りあるかを考える．たとえば，$n=5$のときは$2+3,\ 3+2$の$2$通りあり，$n=6$のときは$2+2+2,\ 3+3$の$2$通りある．$n=15$のときに何通りあるかを答えよ．
(2)硬貨を投げ，表が出れば$2$，裏が出れば$3$を加えるものとする．$0$からはじめて合計が$15$以上になるまで硬貨投げを繰り返すとき，合計が$15$になる確率を求めよ．
(1)$2$または$3$を，順序を考慮して合計$n$になるまで加える方法が何通りあるかを考える．たとえば，$n=5$のときは$2+3,\ 3+2$の$2$通りあり，$n=6$のときは$2+2+2,\ 3+3$の$2$通りある．$n=15$のときに何通りあるかを答えよ．
(2)硬貨を投げ，表が出れば$2$，裏が出れば$3$を加えるものとする．$0$からはじめて合計が$15$以上になるまで硬貨投げを繰り返すとき，合計が$15$になる確率を求めよ．
国立 島根大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$または$3$を，順序を考慮して合計$n$になるまで加える方法が何通りあるかを考える．たとえば，$n=5$のときは$2+3,\ 3+2$の$2$通りあり，$n=6$のときは$2+2+2,\ 3+3$の$2$通りある．$n=15$のときに何通りあるかを答えよ．
(2)硬貨を投げ，表が出れば$2$，裏が出れば$3$を加えるものとする．$0$からはじめて合計が$15$以上になるまで硬貨投げを繰り返すとき，合計が$15$になる確率を求めよ．
(1)$2$または$3$を，順序を考慮して合計$n$になるまで加える方法が何通りあるかを考える．たとえば，$n=5$のときは$2+3,\ 3+2$の$2$通りあり，$n=6$のときは$2+2+2,\ 3+3$の$2$通りある．$n=15$のときに何通りあるかを答えよ．
(2)硬貨を投げ，表が出れば$2$，裏が出れば$3$を加えるものとする．$0$からはじめて合計が$15$以上になるまで硬貨投げを繰り返すとき，合計が$15$になる確率を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第2問$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第2問$\mathrm{A}$を一辺が$1$の立方体の積み木とし，$\mathrm{B}$を縦が$1$，横が$1$，高さが$2$の直方体の積み木とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は十分たくさんあるとして，これらを積み上げて高さ$n$の塔（縦が$1$，横が$1$，高さが$n$の直方体，ただし$n$は自然数とする）を作るとき，積み上げ方の場合の数を$a_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$の値を求めよ．
(2)高さ$n$の塔を作るとき，$\mathrm{B}$をちょうど$k$個$\displaystyle \left( \text{ただし} 0 \leqq k \leqq \frac{n}{2} \right)$使うときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
(3)$a_{11}$の値を求めよ．
(4)使える積み木は$\mathrm{A}$が$9$個まで，$\mathrm{B}$が$4$個までとしたとき，高さ$11$の塔を作るときの積み上げ方の場合の数を求めよ．
国立 山口大学 2012年 第4問$xy$平面において，直線$y=8$の上に点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$が，直線$y=0$の上に点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_3$，$\mathrm{Q}_4$，$\mathrm{Q}_5$が，それぞれ$x$座標の小さい順に並んでいる．これらを$y=8$上の点と$y=0$上の点ひとつずつからなる5つの組に分け，それぞれの組の2点を結んでできる5本の線分を考える．下図はその一例である．このとき，次の問いに答えなさい．
（図は省略）
(1)3本の線分$\mathrm{P}_i \mathrm{Q}_n$，$\mathrm{P}_j \mathrm{Q}_m$，$\mathrm{P}_k \mathrm{Q}_l$が1点$\mathrm{R}$で交わるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{P}_i \mathrm{P}_j \cdot \mathrm{Q}_l \mathrm{Q}_m}{\mathrm{P}_j \mathrm{P}_k \cdot \mathrm{Q}_m \mathrm{Q}_n}$を求めなさい．ただし，$i<j<k$かつ$l<m<n$であるとする．
(2)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき，どのような結び方をしても3本の線分が1点で交わらないことを(1)を用いて背理法で示しなさい．
(3)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき，交点の数の合計がちょうど2つになるような結び方は何通りあるかを答えなさい．
（図は省略）
(1)3本の線分$\mathrm{P}_i \mathrm{Q}_n$，$\mathrm{P}_j \mathrm{Q}_m$，$\mathrm{P}_k \mathrm{Q}_l$が1点$\mathrm{R}$で交わるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{P}_i \mathrm{P}_j \cdot \mathrm{Q}_l \mathrm{Q}_m}{\mathrm{P}_j \mathrm{P}_k \cdot \mathrm{Q}_m \mathrm{Q}_n}$を求めなさい．ただし，$i<j<k$かつ$l<m<n$であるとする．
(2)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき，どのような結び方をしても3本の線分が1点で交わらないことを(1)を用いて背理法で示しなさい．
(3)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき，交点の数の合計がちょうど2つになるような結び方は何通りあるかを答えなさい．
私立 龍谷大学 2012年 第3問次の$7$文字をすべて使って文字列を作る．
\[ \mathrm{R} \quad \mathrm{Y} \quad \mathrm{U} \quad \mathrm{K} \quad \mathrm{O} \quad \mathrm{K} \quad \mathrm{U} \]
(1)全部で何通りの文字列を作ることができるか求めなさい．
(2)$\mathrm{U}$と$\mathrm{U}$が隣り合わせにならないような文字列が何通りあるか求めなさい．
(3)$\mathrm{O}$が少なくとも$1$つの$\mathrm{U}$と隣り合うような文字列が何通りあるか求めなさい．
\[ \mathrm{R} \quad \mathrm{Y} \quad \mathrm{U} \quad \mathrm{K} \quad \mathrm{O} \quad \mathrm{K} \quad \mathrm{U} \]
(1)全部で何通りの文字列を作ることができるか求めなさい．
(2)$\mathrm{U}$と$\mathrm{U}$が隣り合わせにならないような文字列が何通りあるか求めなさい．
(3)$\mathrm{O}$が少なくとも$1$つの$\mathrm{U}$と隣り合うような文字列が何通りあるか求めなさい．
私立 日本女子大学 2012年 第2問女子$6$人，男子$3$人が次のように並ぶ方法はそれぞれ何通りあるか．
(1)男子$3$人が続いて並ぶように，この$9$人が$1$列に並ぶ．
(2)両端が男子になるように，この$9$人が$1$列に並ぶ．
(3)男子がどの$2$人も隣り合わないように，この$9$人が円形に並ぶ．
(1)男子$3$人が続いて並ぶように，この$9$人が$1$列に並ぶ．
(2)両端が男子になるように，この$9$人が$1$列に並ぶ．
(3)男子がどの$2$人も隣り合わないように，この$9$人が円形に並ぶ．