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横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2014年 第1問
以下の問いに答えよ.

(1)$a,\ b,\ c$を相異なる実数とする.$x,\ y,\ z$に関する連立$3$元$1$次方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x-ay+a^2z=a^4 \\
x-by+b^2z=b^4 \\
x-cy+c^2z=c^4
\end{array} \right. \]
を解きたい.その解を基本対称式
\[ \begin{array}{l}
A=a+b+c \\
B=ab+bc+ca \\
C=abc
\end{array} \]
を用いて表せ.
(2)平面上に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 3)$,$\mathrm{B}(1,\ 2)$,$\mathrm{C}(3,\ 1)$をとる.このとき,三角形$\mathrm{ABC}$の内心を求めよ.
(3)行列$A$を
\setstretch{2.5}
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} & \displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
\end{array} \right) \]
\setstretch{1.4}
とおく.このとき,行列の和
\[ A+A^2+\cdots +A^7+A^8 \]
を,(簡潔な形で)求めよ.
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「基本対称式」とは・・・

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