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小樽商科大学 国立 小樽商科大学 2012年 第4問
$-1<x<1$を定義域とする関数$\displaystyle f_p(x)=\frac{x-p}{1-px}$,$\displaystyle f_q(x)=\frac{x-q}{1-qx}$ \ $(-1<p<1,\ -1<q<1)$について,次の問いに答えよ.

(1)定義域内のすべての$x$に対して,$-1<f_q(x)<1$を示せ.
(2)定義域内のすべての$x$に対して,$\displaystyle f_p(f_q(x))=\frac{x-r}{1-rx}$を満たすとき,$r$を$p$と$q$を用いて表し,$-1<r<1$を示せ.ただし,$f_p(f_q(x))$は$\displaystyle f_p(y)=\frac{y-p}{1-py}$に$y=f_q(x)$を代入したものを意味するものとする.
(3)定義域内のすべての$x$に対して,$f_p(f_q(x))=f_q(x)$を満たす$p$を求めよ.
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「域内」とは・・・

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