「垂線」について
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私立 津田塾大学 2010年 第2問空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(-2,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$を考える．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を示し，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面に点$\mathrm{C}$から下ろした垂線の足を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は実数$s,\ t$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表される．$s,\ t$の値を求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする四面体の体積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を示し，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面に点$\mathrm{C}$から下ろした垂線の足を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は実数$s,\ t$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表される．$s,\ t$の値を求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする四面体の体積を求めよ．
私立 広島工業大学 2010年 第3問放物線$C:y=x^2+a$があり，直線$\ell:y=2bx$は$C$の接線である．ただし，$a$と$b$は定数で$b>0$とする．
(1)$a$を$b$で表せ．
(2)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を$b$を用いて表せ．
(3)$C$と$\ell$の接点から$x$軸へ下ろした垂線と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_2$と$(2)$で求めた$S_1$の比の値$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(1)$a$を$b$で表せ．
(2)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を$b$を用いて表せ．
(3)$C$と$\ell$の接点から$x$軸へ下ろした垂線と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_2$と$(2)$で求めた$S_1$の比の値$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
公立 岡山県立大学 2010年 第3問Oを原点とする座標平面において，曲線$y=x^3$上の点P$(t,\ t^3)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をHとする．ただし，$t>0$である．Hを通り線分OPに垂直な直線と$y$軸との交点をQとし，線分HQと線分OPの交点をRとする．$\triangle$ORQの面積を$S_1$，$\triangle$HPRの面積を$S_2$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点Qの$y$座標を求めよ．
(2)点Rの$x$座標を求めよ．
(3)$S_1$と$S_2$を$t$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S_1S_2$の値を求めよ．
(5)$S_1+S_2$の最小値を求めよ．
(1)点Qの$y$座標を求めよ．
(2)点Rの$x$座標を求めよ．
(3)$S_1$と$S_2$を$t$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S_1S_2$の値を求めよ．
(5)$S_1+S_2$の最小値を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2010年 第2問座標空間内に原点Oを通らない平面$\alpha$がある．原点から平面$\alpha$に垂線OHを下ろす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Pを平面$\alpha$上の点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}$を示せ．
(2)平面$\alpha$が3点A$(1,\ 1,\ 1)$，B$(3,\ 0,\ 1)$，C$(-1,\ 1,\ 0)$を通るとき，点Hの座標を求めよ．
(1)Pを平面$\alpha$上の点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}$を示せ．
(2)平面$\alpha$が3点A$(1,\ 1,\ 1)$，B$(3,\ 0,\ 1)$，C$(-1,\ 1,\ 0)$を通るとき，点Hの座標を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2010年 第3問三角形$\mathrm{OAB}$について，$\mathrm{OA}=\sqrt{2}$，$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{AB}=2$とする．点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{L}$，辺$\mathrm{OB}$に関して$\mathrm{L}$と対称な点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．また$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．また$\overrightarrow{\mathrm{OL}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
公立 名古屋市立大学 2010年 第4問原点をOとする座標空間において，2点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$から等距離にある点の集合を平面Hとする．次の問いに答えよ．
(1)直線ABが平面Hに垂直であることを示せ．
(2)原点Oから平面Hに下ろした垂線の足を点Cとする．点Cの座標を求めよ．
(3)$d$を正の実数とする．PをH上の点とするとき，不等式$\text{OP} \leqq d$を満たす点Pの領域の面積を求めよ．
(1)直線ABが平面Hに垂直であることを示せ．
(2)原点Oから平面Hに下ろした垂線の足を点Cとする．点Cの座標を求めよ．
(3)$d$を正の実数とする．PをH上の点とするとき，不等式$\text{OP} \leqq d$を満たす点Pの領域の面積を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2010年 第2問原点をOとする座標空間において，2点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$から等距離にある点の集合を平面Hとする．次の問いに答えよ．
(1)直線ABが平面Hに垂直であることを示せ．
(2)原点Oから平面Hに下ろした垂線の足を点Cとする．点Cの座標を求めよ．
(3)$d$を正の実数とする．PをH上の点とするとき，不等式$\text{OP} \leqq d$を満たす点Pの領域の面積を求めよ．
(1)直線ABが平面Hに垂直であることを示せ．
(2)原点Oから平面Hに下ろした垂線の足を点Cとする．点Cの座標を求めよ．
(3)$d$を正の実数とする．PをH上の点とするとき，不等式$\text{OP} \leqq d$を満たす点Pの領域の面積を求めよ．
公立 京都府立大学 2010年 第2問定数$k$を実数とする．座標平面上に4つの定点A$(\overrightarrow{a})$，B$(\overrightarrow{b})$，C$(\overrightarrow{c})$，D$(\overrightarrow{d})$がある．$|\overrightarrow{a}|=2,\ |\overrightarrow{b}|=1,\ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{b}$とする．このとき，Cを中心とする円$K$上の任意の点をP$(\overrightarrow{p})$とし，$K$はベクトル方程式
\[ (\overrightarrow{p}-k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{b})=0 \]
で表されるとする．また，Dを通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(2)$K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ．
(3)Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする．Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(4)$\ell$が，$K$と共有点をもつとするとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．
\[ (\overrightarrow{p}-k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{b})=0 \]
で表されるとする．また，Dを通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(2)$K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ．
(3)Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする．Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(4)$\ell$が，$K$と共有点をもつとするとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．
公立 京都府立大学 2010年 第2問定数$k$を実数とする．座標平面上に4つの定点A$(\overrightarrow{a})$，B$(\overrightarrow{b})$，C$(\overrightarrow{c})$，D$(\overrightarrow{d})$がある．$|\overrightarrow{a}|=2,\ |\overrightarrow{b}|=1,\ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{b}$とする．このとき，Cを中心とする円$K$上の任意の点をP$(\overrightarrow{p})$とし，$K$はベクトル方程式
\[ (\overrightarrow{p}-k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{b})=0 \]
で表されるとする．また，Dを通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(2)$K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ．
(3)Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする．Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(4)$\ell$が，$K$と共有点をもつとするとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．
\[ (\overrightarrow{p}-k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{b})=0 \]
で表されるとする．また，Dを通り，$\overrightarrow{a}$に平行な直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(2)$K$の半径が$\sqrt{3}$となる$k$の値を求めよ．
(3)Cから$\ell$に下ろした垂線の足をHとする．Hの位置ベクトル$\overrightarrow{h}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．
(4)$\ell$が，$K$と共有点をもつとするとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．
公立 大阪府立大学 2010年 第2問平面上に4点O，A，B，Cがあり，点Oを始点とするそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とし，
\[ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}, |\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{10}, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=8, \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20 \]
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$を求めよ．
(3)実数$s,\ t$に対して，点Pを
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \]
で定める．$s,\ t$が条件
\[ (s+t-1)(s+3t-3) \leqq 0 \]
を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$の最小値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}, |\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{10}, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=8, \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20 \]
が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$を求めよ．
(3)実数$s,\ t$に対して，点Pを
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \]
で定める．$s,\ t$が条件
\[ (s+t-1)(s+3t-3) \leqq 0 \]
を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$の最小値を求めよ．