「垂線」について
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公立 岐阜薬科大学 2011年 第2問$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ \sqrt{3})$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$がある．点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線を$\mathrm{OH}_1$とする．次に，点$\mathrm{H}_1$から辺$\mathrm{OA}$に引いた垂線を$\mathrm{H}_1 \mathrm{H}_2$，点$\mathrm{H}_2$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線を$\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3$，点$\mathrm{H}_3$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線を$\mathrm{H}_3 \mathrm{H}_4$とする．以下，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{AB}$上に，この順で垂線を引くことを繰り返し，点$\mathrm{H}_n$を決め，線分$\mathrm{H}_{n-1} \mathrm{H}_n$の長さを$a_n (n \geqq 2)$とする．$a_1=\mathrm{OH}_1$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
国立 京都大学 2010年 第5問座標空間内で，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0 )$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{E}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{G}(0,\ 1,\ 1)$を頂点にもつ立方体を考える．
(1)頂点$\mathrm{A}$から対角線$\mathrm{OF}$に下ろした垂線の長さを求めよ．
(2)この立方体を対角線$\mathrm{OF}$を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．
(1)頂点$\mathrm{A}$から対角線$\mathrm{OF}$に下ろした垂線の長さを求めよ．
(2)この立方体を対角線$\mathrm{OF}$を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．
国立 弘前大学 2010年 第2問$a>1$を定数とする．3つの放物線$\displaystyle y=x^2,\ y=\frac{1}{2}x^2,\ y=ax^2$の$x \geqq 0$の部分をそれぞれ，$C,\ C_1,\ C_2$とする．$C$上の点Pから$x$軸に下ろした垂線と2曲線$C,\ C_1$で囲まれた領域を$D_1$とする．Pから$y$軸に下ろした垂線と2曲線$C,\ C_2$で囲まれた領域を$D_2$とする．
(1)領域$D_1,\ D_2$の面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とする．点Pのとり方によらず常に$S_1=S_2$となるような$a$の値を求めよ．
(2)領域$D_1,\ D_2$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とする．点Pのとり方によらず常に$V_1=V_2$となるような$a$の値を求めよ．
(1)領域$D_1,\ D_2$の面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とする．点Pのとり方によらず常に$S_1=S_2$となるような$a$の値を求めよ．
(2)領域$D_1,\ D_2$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とする．点Pのとり方によらず常に$V_1=V_2$となるような$a$の値を求めよ．
国立 神戸大学 2010年 第2問空間内に4点O，A，B，Cがあり，
\[ \text{OA} = 3,\ \text{OB} = \text{OC} = 4,\ \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \angle \text{AOB} = \frac{\pi}{3} \]
であるとする．3点A，B，Cを通る平面に垂線OHをおろす．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$と表すとき，$r,\ s,\ t$を求めよ．
(2)直線CHと直線ABの交点をDとするとき，長さの比$\text{CH}:\text{HD},\ \text{AD}:\text{DB}$をそれぞれ求めよ
\[ \text{OA} = 3,\ \text{OB} = \text{OC} = 4,\ \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \angle \text{AOB} = \frac{\pi}{3} \]
であるとする．3点A，B，Cを通る平面に垂線OHをおろす．このとき，以下の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$と表すとき，$r,\ s,\ t$を求めよ．
(2)直線CHと直線ABの交点をDとするとき，長さの比$\text{CH}:\text{HD},\ \text{AD}:\text{DB}$をそれぞれ求めよ
国立 北海道大学 2010年 第4問直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \angle \mathrm{C}=\frac{\pi}{2},\ \mathrm{AB}=1$であるとする．$\angle \mathrm{B}=\theta$とおく．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{CD}$を下ろし，点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{DE}$を下ろす．$\mathrm{AE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}}$を$\theta$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{FEC}$の面積を$\theta$で表せ．
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}}$を$\theta$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{FEC}$の面積を$\theta$で表せ．
国立 九州大学 2010年 第3問$xy$平面上に原点Oを中心とする半径1の円を描き，その上半分を$C$とし，その両端をA$(-1,\ 0)$，B$(1,\ 0)$とする．$C$上の2点N，Mを$\text{NM}=\text{MB}$となるように取る．ただし，$\text{N} \neq \text{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \text{MAB}=\theta$とおき，弦の長さMB及び点Mの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点Nから$x$軸に下ろした垂線をNPとしたとき，PBを$\theta$を用いて表せ．
(3)$t=\sin \theta$とおく．条件$\text{MB}=\text{PB}$を$t$を用いて表せ．
(4)$\text{MB}=\text{PB}$となるような点Mが唯一あることを示せ．
(1)$\angle \text{MAB}=\theta$とおき，弦の長さMB及び点Mの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点Nから$x$軸に下ろした垂線をNPとしたとき，PBを$\theta$を用いて表せ．
(3)$t=\sin \theta$とおく．条件$\text{MB}=\text{PB}$を$t$を用いて表せ．
(4)$\text{MB}=\text{PB}$となるような点Mが唯一あることを示せ．
国立 信州大学 2010年 第1問平面上に4点O，A，B，Cがあり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$は次の条件を満たして
いる．
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| =\sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+ \overrightarrow{\mathrm{OB}}+ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．
いる．
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| =\sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+ \overrightarrow{\mathrm{OB}}+ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．
国立 東京大学 2010年 第6問四面体$\mathrm{OABC}$において，$4$つの面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=\sqrt{7}$，$\mathrm{AB}=2$であるとする．また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$L$とする．
(1)点$\mathrm{C}$から平面$L$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$0<t<1$をみたす実数$t$に対して，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$各々を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$とおく．$2$点$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$を通り，平面$L$に垂直な平面を$M$とするとき，平面$M$による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．
(1)点$\mathrm{C}$から平面$L$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$0<t<1$をみたす実数$t$に対して，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$各々を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$とおく．$2$点$\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$を通り，平面$L$に垂直な平面を$M$とするとき，平面$M$による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最大値を求めよ．
国立 千葉大学 2010年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の長さは1，頂点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{CA}$に下ろした垂線の長さは$\sqrt{2}$，頂点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の長さは2である．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積と，内接円の半径，および，外接円の半径を求めよ．
国立 信州大学 2010年 第2問平面上に4点O，A，B，Cがあり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$は次の条件を満たしている．
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| = \sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| = \sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．