$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{AOB}=90^\circ$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{OC}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{OA}<\mathrm{OB}$かつ$\mathrm{OC}=1$とする．$s=|\overrightarrow{a}|$とするとき，$\triangle \mathrm{OPE}$の面積を$s$を用いて表せ．

座標平面上の直線$y=mx \ (m>0)$を$\ell$とする．点$(1,\ 0)$を$\mathrm{P}_1$とし，$\mathrm{P}_1$から$\ell$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_1$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{P}_2$とする．以下同様に$\mathrm{P}_n \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$から$\ell$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}_n$，$\mathrm{Q}_n$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$の面積$S_1$を$m$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$の面積を$S_n$とするとき，級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和$S$を$m$を用いて表せ．
(3)(2)における$S$が最大になる$m$と，そのときの$S$の値を求めよ．

平面上で原点Oを通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線を$\ell$とする．$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で動かすとき，点A$(2,\ 0)$から$\ell$へ下ろした垂線をAG，点B$(0,\ 1)$から$\ell$へ下ろした垂線をBHとし，折れ線の長さ$\text{AG}+\text{GH}+\text{HB}$を$L$とする．ただし，$\theta = 0$のときはGはAに等しく，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$のときはHはBに等しいものとする．直線$\ell$の傾きは0以上とする．

(1)$\text{GH} = 0$となるときの$\theta$の値を$\alpha$とするとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)$L$の最小値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
(3)$L$の最大値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．

平面上で原点Oを通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線を$\ell$とする．$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で動かすとき，点A$(2,\ 0)$から$\ell$へ下ろした垂線をAG，点B$(0,\ 1)$から$\ell$へ下ろした垂線をBHとし，折れ線の長さ$\text{AG}+\text{GH}+\text{HB}$を$L$とする．ただし，$\theta = 0$のときはGはAに等しく，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$のときはHはBに等しいものとする．直線$\ell$の傾きは0以上とする．

(1)$\text{GH} = 0$となるときの$\theta$の値を$\alpha$とするとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)$L$の最小値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．
(3)$L$の最大値と，そのときの$\tan \theta$の値を求めよ．

Oを原点とする座標平面上に2点A$(4,\ 2)$，B$(5,\ 0)$がある．AをP$_0$とし，P$_0$から直線OBに下ろした垂線と直線OBとの交点をP$_1$，P$_1$から直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をP$_2$とする．同様にして，自然数$n$に対して，P$_{2n}$から直線OBに下ろした垂線と直線OBとの交点をP$_{2n+1}$，P$_{2n+1}$から直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をP$_{2n+2}$とする．さらに，自然数$n$に対して，線分P$_{n-1}$P$_n$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$l_n$を$n$の式で表せ．
(2)$l_1+l_2+\cdots +l_n> \text{OA}+\text{OB}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(3)線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$の中点をM$_n$とするとき，点M$_1$，M$_2$，M$_3$，$\cdots$，M$_n$，$\cdots$は一直線上にあることを示し，その直線の方程式を求めよ．

$xy$平面上に曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$がある．曲線$C$上の点P$\displaystyle \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$における接線を$\ell$とし，原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2)点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3)直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．

\mon[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．

$xyz$空間に6点$\text{A}(1,\ 1,\ 0)$，$\text{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\text{C}(-1,\ -1,\ 0)$，$\text{D}(1,\ -1,\ 0)$，$\text{P}(\alpha,\ 0,\ \beta)$，$\text{Q}(-\alpha,\ 0,\ \beta)$が与えられている．ただし，$\alpha,\ \beta$は正の実数とする．
\[ \text{PB}=\text{PC}=\text{BC} \quad \text{かつ} \quad \text{PA}=\text{PD}=\text{PQ} \]
であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$を求めよ．
(2)点P$_0(\alpha,\ 0,\ 0)$を考える．Pから直線ABに下ろした垂線と直線ABとの交点をHとし，Pから直線ADに下ろした垂線と直線ADとの交点をKとする．このとき，2つの三角形$\triangle$HP$_0$Pと$\triangle$PP$_0$Kが相似であることを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上，直線$y=kx \ (k \text{は定数})$に関する対称移動を$f$で表す．また座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して，直線$\mathrm{OP}$を$\mathrm{O}$を中心として角$\displaystyle \frac{\pi}{4}$だけ回転して得られる直線$\ell$に$\mathrm{P}$から下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$を$\mathrm{Q}$に移す移動を$g$で表す．ただし$\mathrm{O}$は$g$により$\mathrm{O}$自身に移動するものとする．$f,\ g$をこの順に続けて行って得られる移動（合成変換$g \circ f$）を表す行列を$A$とおくとき，$A$およびその逆行列$A^{-1}$を求めよ．
(2)2次の正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$T(M)=a+d,\ D(M)=ad-bc$と定める．このとき以下の命題を証明せよ． \\
「すべての自然数$n$に対して$T(M^n)=\{T(M)\}^n$が成り立つことと，$D(M)=0$であることは，互いに同値である．」

$xy$平面上の$2$つの放物線$C_1,\ C_2$を考える．
\[ C_1:y=-x^2+4x,\quad C_2:y=x^2-2x \]

(1)$C_1,\ C_2$の原点とは異なる交点$\mathrm{A}$の座標と$C_2$の頂点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$から$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を$x_1,\ y_1$を用いて表せ．ただし点$\mathrm{P}$は直線$\ell$上にないものとする．
(3)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が$C_1$上にあるとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$x_1$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を原点から$\mathrm{A}$まで動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$xy$平面上の$2$つの放物線$C_1,\ C_2$を考える．
\[ C_1:y=-x^2+4x,\quad C_2:y=x^2-2x \]

(1)$C_1,\ C_2$の原点とは異なる交点$\mathrm{A}$の座標と$C_2$の頂点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$から$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線$\ell$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を$x_1,\ y_1$を用いて表せ．ただし点$\mathrm{P}$は直線$\ell$上にないものとする．
(3)点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が$C_1$上にあるとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$x_1$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を原点から$\mathrm{A}$まで動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．