$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$x$の整式$x^3+3mx^2+2(m^2-1)x-4$が$(x+2)^2$で割り切れるとする．このとき，$m$の値は$m=[ア]$であり，商は$[イ]$である．

(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
x+1 & 2 \\
-5 & y-2
\end{array} \right)$がある．$A^2=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たすとき，$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[ウ]$である．また，$A$が逆行列をもたないような$2$つの正の整数$x$と$y$の値を求めると$(x,\ y)=[エ]$である．
(3)$a$は$1$ではない実数，$k$は$3$以上の整数とする．初項が$a$，第$2$項が$1$の等差数列があり，その第$k$項を$b$とする．$b$を$a$と$k$で表すと$b=[オ]$である．この$b$に対して，初項が$1$，第$2$項が$a$，第$3$項が$b$の数列が等比数列になるとき，$a$を$k$で表すと$a=[カ]$である．
(4)曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(2,\ \log 2)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と垂直な直線を$m$とし，$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$m$の方程式を求めると$y=[キ]$である．また，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積$S$を求めると$S=[ク]$である．
(5)$3$つのサイコロを同時に投げるとき，出た目の最大値が$6$となる確率は$[ケ]$であり，出た目の最大値と最小値の組が$(6,\ 1)$となる確率は$[コ]$である．

空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とし，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．

(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表し，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=2 \sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=3+\sqrt{3}$である．$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に垂線を下ろし，垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AH}=\sqrt{[サ]},\quad \angle \mathrm{BAC}=[シスセ]^\circ \]
である．さらに，点$\mathrm{A}$が三角形$\mathrm{DBC}$の内接円の中心となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，
\[ \mathrm{AD}^2=[ソタ]+[チツ] \sqrt{[テ]} \]
である．

平面上で点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に引いた垂線と$\ell$との交点を，点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に下ろした垂線の足という．

(1)点$\mathrm{P}(p,\ q)$から直線$ax+by+c=0$に下ろした垂線の足の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}(5,\ 0)$，$\mathrm{B}(4,\ 3)$，$\mathrm{C}(3,\ 4)$を考える．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell_1$，$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_2$，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_3$とする．点$\mathrm{P}(p,\ q)$から$\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{H}_1$，$\mathrm{H}_2$，$\mathrm{H}_3$とする．$3$点$\mathrm{H}_1$，$\mathrm{H}_2$，$\mathrm{H}_3$が一直線上にあるような点$\mathrm{P}(p,\ q)$の軌跡を求めよ．

$\angle \mathrm{B}=90^\circ$の直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=1$，$\angle \mathrm{A}=\theta$とする．点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，点$\mathrm{H}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{K}$とする．

(1)$\mathrm{HK}$を$\theta$をもちいて表しなさい．
(2)$\theta$が変化するとき，$\mathrm{HK}$の最大値を求めなさい．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ABC}=90^\circ$の直角二等辺三角形であり，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}$とする．辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{DE}=3$，$\mathrm{EF}=4$，$\angle \mathrm{DEF}=90^\circ$である．$\mathrm{E}$から$\mathrm{BC}$に下した垂線の足を$\mathrm{H}$とし，$\angle \mathrm{EDC}=\theta$，$\mathrm{BD}=x$とするとき，以下の各問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AFE}$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{EH}$の長さを$\sin \theta$の簡単な式で表せ．
(3)$\mathrm{CE}$の長さを$\sin \theta$の簡単な式で表せ．
(4)$\mathrm{AE}$の長さを$\sin \theta$の簡単な式で表せ．
(5)$\sin \theta$を$x$の簡単な式で表せ．
(6)$x$を求めよ．

一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\angle \mathrm{ADM}=\theta$としたとき，$\cos \theta$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．頂点$\mathrm{A}$から$\mathrm{MD}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とすると，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$であり，この正四面体の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[][]}$である．また，この正四面体に内接する球の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[][]}$である．

以下の問に答えよ．

(1)関数$y=2x^2-3x+2 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle |x-1|<-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$の解は$A<x<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．
(3)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(6,\ 2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABH}$の面積を求めよ．
(4)$2$つの放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$と$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2+2kx-\frac{3}{2}k$が共有点を持たないような定数$k$の値の範囲は，$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \frac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3}$の小数部分の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)関数$y=2x^2-3x+2 (-1 \leqq x \leqq 2)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)不等式$\displaystyle |x-1|<-\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$の解は$A<x<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．
(3)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(6,\ 2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とするとき，$\triangle \mathrm{ABH}$の面積を求めよ．
(4)$2$つの放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{5}{2}$と$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x^2+2kx-\frac{3}{2}k$が共有点を持たないような定数$k$の値の範囲は，$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \frac{\sqrt{17}+3}{\sqrt{17}-3}$の小数部分の値を求めよ．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2$である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$から$\mathrm{OC}$に下ろした垂線と$\mathrm{OC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{OG}$と$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABG}$の体積は四面体$\mathrm{OABC}$の体積の何倍かを求めよ．