「垂線」について
タグ「垂線」の検索結果
（16ページ目：全330問中151問～160問を表示）
公立 高崎経済大学 2014年 第5問$1$辺の長さが$10$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AD}=5$となるように点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AE}=8$となるように点$\mathrm{E}$をとる．また，$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AF}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．以下の各問に答えよ．
(1)線分$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{GF}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろす．$\mathrm{AH}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，線分$\mathrm{IH}$の長さを求めよ．
(4)三角形$\mathrm{IFH}$の面積を求めよ．
(1)線分$\mathrm{BG}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{GF}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろす．$\mathrm{AH}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，線分$\mathrm{IH}$の長さを求めよ．
(4)三角形$\mathrm{IFH}$の面積を求めよ．
公立 島根県立大学 2014年 第2問$\mathrm{AD}=t$（ただし，$t>0$），$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}=1$，$\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{CDA}={90}^\circ$である四面体$\mathrm{ABCD}$がある．次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{AMD}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)頂点$\mathrm{D}$から$\triangle \mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の長さを求めよ．
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{AMD}$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)頂点$\mathrm{D}$から$\triangle \mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の長さを求めよ．
国立 東北大学 2013年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$とする．$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$，$\angle \mathrm{BOC}=45^\circ$，$\angle \mathrm{COA}=45^\circ$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{C}$から面$\mathrm{OAB}$に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 東北大学 2013年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$とする．$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$，$\angle \mathrm{BOC}=45^\circ$，$\angle \mathrm{COA}=45^\circ$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{C}$から面$\mathrm{OAB}$に垂線を引き，その交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 埼玉大学 2013年 第4問次の条件を満たす四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=3, \nonumber \\
& |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{7},\quad |\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=\sqrt{6} \nonumber
\end{align}
（図は省略）
次の問いに答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$から3点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=3, \nonumber \\
& |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{7},\quad |\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=\sqrt{6} \nonumber
\end{align}
（図は省略）
次の問いに答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$から3点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
国立 埼玉大学 2013年 第4問次の条件を満たす四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=3, \nonumber \\
& |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{7},\quad |\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=\sqrt{6} \nonumber
\end{align}
（図は省略）
次の問いに答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$から3点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=3, \nonumber \\
& |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{7},\quad |\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=\sqrt{6} \nonumber
\end{align}
（図は省略）
次の問いに答えよ．
(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$から3点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
国立 広島大学 2013年 第2問座標平面上に点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (0<\theta<\pi)$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$x$軸に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle -1< \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \leqq \frac{1}{2}$となる$\theta$の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で定める．点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．$\theta$が(1)で求めた範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{POQ}$の面積の最大値を求めよ．
(1)$\displaystyle -1< \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} \leqq \frac{1}{2}$となる$\theta$の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
で定める．点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．$\theta$が(1)で求めた範囲を動くとき，$\triangle \mathrm{POQ}$の面積の最大値を求めよ．
国立 金沢大学 2013年 第1問正の実数$a,\ b,\ c$に対して，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に3点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$がある．$\mathrm{AC}=2,\ \mathrm{BC}=3$かつ$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}$となるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．また，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の長さを求めよ．
(1)$\sin \angle \mathrm{ACB}$の値を求めよ．また，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の長さを求めよ．
国立 熊本大学 2013年 第3問直方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OD}=1$，$\mathrm{OC}=2$とし，辺$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OD}} \ (0 \leqq t \leqq 1)$とし，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{CM}$におろした垂線と線分$\mathrm{CM}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{CM}},\ \overrightarrow{\mathrm{PM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|^2$の最小値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{CM}},\ \overrightarrow{\mathrm{PM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|^2$の最小値を求めよ．
国立 東京大学 2013年 第2問座標平面上の$3$点
\[ \mathrm{P}(0,\ -\sqrt{2}),\quad \mathrm{Q}(0,\ \sqrt{2}),\quad \mathrm{A}(a,\ \sqrt{a^2+1}) \quad (0 \leqq a \leqq 1) \]
を考える．
(1)$2$つの線分の長さの差$\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を端点とし$\mathrm{A}$を通る半直線と放物線$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{8}x^2$との交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=2$へ下した垂線と直線$y=2$との交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，線分の長さの和
\[ \mathrm{PA}+\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \]
は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
\[ \mathrm{P}(0,\ -\sqrt{2}),\quad \mathrm{Q}(0,\ \sqrt{2}),\quad \mathrm{A}(a,\ \sqrt{a^2+1}) \quad (0 \leqq a \leqq 1) \]
を考える．
(1)$2$つの線分の長さの差$\mathrm{PA}-\mathrm{AQ}$は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を端点とし$\mathrm{A}$を通る半直線と放物線$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{8}x^2$との交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$から直線$y=2$へ下した垂線と直線$y=2$との交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，線分の長さの和
\[ \mathrm{PA}+\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \]
は$a$によらない定数であることを示し，その値を求めよ．