「垂線」について
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私立 同志社大学 2014年 第2問座標空間内の球面$x^2+y^2+z^2=9$上に$3$点$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -2,\ 2)$をとる．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に，原点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)球面上を動く点$\mathrm{P}$を頂点とする四面体$\mathrm{PABC}$を考え，その体積を$V$とする．$V$の最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に，原点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(3)球面上を動く点$\mathrm{P}$を頂点とする四面体$\mathrm{PABC}$を考え，その体積を$V$とする．$V$の最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
私立 杏林大学 2014年 第3問$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．
$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がそれぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸上にあり，原点$\mathrm{O}$を頂点に持つ$3$つの三角形$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$の面積の比が$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$となっている．三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする．
(1)平面$\alpha$上にある点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表わすと，$s+t+u=[ア]$が成り立つ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{D}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表わされる．
直線$\mathrm{OD}$と平面$\alpha$の交点$\mathrm{G}$は，線分$\mathrm{OD}$を$[ク]:1$に内分する．点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ケ]$である．
(3)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \]
点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[タ]}{[チ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ツ]}{[テ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
が成り立つ．
点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{EH}$を$1:[ニ]$に内分する．
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ヌ]$であり，点$\mathrm{E}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ネ]$である．
$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答群
\mon[$①$] 重心
\mon[$②$] 内心
\mon[$③$] 外心
\mon[$④$] 垂心
\mon[$⑤$] 三辺の中点を通る円の中心
\mon[$⑥$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における外角の二等分線の交点
\mon[$④chi$] 頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
\mon[$\maruhachi$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がそれぞれ$x$軸，$y$軸，$z$軸上にあり，原点$\mathrm{O}$を頂点に持つ$3$つの三角形$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OCA}$の面積の比が$1:\sqrt{3}:\sqrt{5}$となっている．三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面を$\alpha$とする．
(1)平面$\alpha$上にある点$\mathrm{P}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と表わすと，$s+t+u=[ア]$が成り立つ．
(2)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{D}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[イ]}{[ウ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[エ]}{[オ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表わされる．
直線$\mathrm{OD}$と平面$\alpha$の交点$\mathrm{G}$は，線分$\mathrm{OD}$を$[ク]:1$に内分する．点$\mathrm{G}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ケ]$である．
(3)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[コ]}{[サ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[シ]}{[ス]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}}, \]
点$\mathrm{D}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{[タ]}{[チ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ツ]}{[テ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ト]}{[ナ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
が成り立つ．
点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{EH}$を$1:[ニ]$に内分する．
点$\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ヌ]$であり，点$\mathrm{E}$は三角形$\mathrm{ABC}$の$[ネ]$である．
$[ケ]$，$[ヌ]$，$[ネ]$の解答群
\mon[$①$] 重心
\mon[$②$] 内心
\mon[$③$] 外心
\mon[$④$] 垂心
\mon[$⑤$] 三辺の中点を通る円の中心
\mon[$⑥$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における外角の二等分線の交点
\mon[$④chi$] 頂点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
\mon[$\maruhachi$] 頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$における外角の二等分線の交点
私立 北海学園大学 2014年 第3問対角線が$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$である平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積は$8 \sqrt{15}$であり，三角形$\mathrm{ABD}$は鋭角三角形である．このとき，頂点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とし，$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{AH}=x$，$\mathrm{BD}=y$とする．ただし，$x>0$，$y>0$とする．
(1)$1 \leqq x \leqq 7$のとき，$y$の値の範囲を求めよ．
(2)$x=1$のとき，三角形$\mathrm{ABD}$の内接円の面積$S$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の内接円と三角形$\mathrm{BCD}$の内接円が接するとき，$x$の値を求めよ．
(1)$1 \leqq x \leqq 7$のとき，$y$の値の範囲を求めよ．
(2)$x=1$のとき，三角形$\mathrm{ABD}$の内接円の面積$S$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABD}$の内接円と三角形$\mathrm{BCD}$の内接円が接するとき，$x$の値を求めよ．
私立 九州産業大学 2014年 第2問直線$-3x+y-5=0$を$\ell_1$，直線$x+3y-15=0$を$\ell_2$，直線$-x+2y-5=0$を$\ell_3$とする．また，直線$\ell_1$と直線$\ell_2$の交点を$\mathrm{A}$，直線$\ell_2$と直線$\ell_3$の交点を$\mathrm{B}$，直線$\ell_1$と直線$\ell_3$の交点を$\mathrm{C}$とし，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AD}$とする．
(1)点$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$，点$\mathrm{B}$の座標は$([ウ],\ [エ])$，点$\mathrm{C}$の座標は$([オカ],\ [キ])$である．
(2)垂線$\mathrm{AD}$の長さは$\sqrt{[ク]}$であり，点$\mathrm{D}$の座標は$([ケ],\ [コ])$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[サ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\sqrt{[シス]}-\sqrt{[セ]}$である．
(1)点$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$，点$\mathrm{B}$の座標は$([ウ],\ [エ])$，点$\mathrm{C}$の座標は$([オカ],\ [キ])$である．
(2)垂線$\mathrm{AD}$の長さは$\sqrt{[ク]}$であり，点$\mathrm{D}$の座標は$([ケ],\ [コ])$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[サ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\sqrt{[シス]}-\sqrt{[セ]}$である．
私立 獨協医科大学 2014年 第3問空間に，同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，条件
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1\,\quad \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \]
を満たしている．$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とし，$\alpha$上にない点$\mathrm{P}$を次の条件を満たすようにとる．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \]
点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=p$とおくと，$\triangle \mathrm{OPH}$の面積は
\[ \frac{[オ]}{[カ]} \sqrt{[キ]p^2-[ク]} \]
と表される．
$\triangle \mathrm{OAB}$の面積が$\triangle \mathrm{OPH}$の面積の$2$倍に等しいとき
\[ p^2=\frac{[ケコ]}{[サシ]} \]
である．またこのとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{5}{3} \overrightarrow{\mathrm{PO}}$を満たす点$\mathrm{Q}$をとると，四面体$\mathrm{QOAH}$の体積は
\[ \frac{\sqrt{[ス]}}{[セソ]} \]
である．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1\,\quad \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \]
を満たしている．$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とし，$\alpha$上にない点$\mathrm{P}$を次の条件を満たすようにとる．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \]
点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=p$とおくと，$\triangle \mathrm{OPH}$の面積は
\[ \frac{[オ]}{[カ]} \sqrt{[キ]p^2-[ク]} \]
と表される．
$\triangle \mathrm{OAB}$の面積が$\triangle \mathrm{OPH}$の面積の$2$倍に等しいとき
\[ p^2=\frac{[ケコ]}{[サシ]} \]
である．またこのとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{5}{3} \overrightarrow{\mathrm{PO}}$を満たす点$\mathrm{Q}$をとると，四面体$\mathrm{QOAH}$の体積は
\[ \frac{\sqrt{[ス]}}{[セソ]} \]
である．
私立 獨協医科大学 2014年 第5問関数$f(x)=2x+\cos x$がある．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$C$とし，$C$と直線$y=2x$，および直線$x+2y=2$で囲まれた領域を$D$とする．領域$D$を直線$y=2x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよう．
（図は省略）
$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{[ア]}} \]
であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は
\[ t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \]
である．これから，$\mathrm{OQ}=s$とおくと
\[ s=\sqrt{[エ]} \left( t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \right) \]
である．
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する．よって，求める体積$V$は
$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[オ]} \pi}{[カ]} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{[キ]}{[ク]} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[ケ]} \pi^2}{[コサ]}-\frac{[シ] \sqrt{[ス]} \pi}{[セソ]}$
である．
（図は省略）
$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
線分$\mathrm{PQ}$の長さは
\[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{[ア]}} \]
であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は
\[ t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \]
である．これから，$\mathrm{OQ}=s$とおくと
\[ s=\sqrt{[エ]} \left( t+\frac{[イ]}{[ウ]} \cos t \right) \]
である．
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する．よって，求める体積$V$は
$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[オ]} \pi}{[カ]} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{[キ]}{[ク]} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{[ケ]} \pi^2}{[コサ]}-\frac{[シ] \sqrt{[ス]} \pi}{[セソ]}$
である．
私立 成城大学 2014年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線を$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$とする．
(1)$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さを$S,\ a,\ b,\ c$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さの比が$1:2:3$になることはあり得ないことを証明せよ．
(1)$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さを$S,\ a,\ b,\ c$を用いてそれぞれ表せ．
(2)$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$の長さの比が$1:2:3$になることはあり得ないことを証明せよ．
私立 上智大学 2014年 第1問正三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AD}$，点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{BE}$とする．$\triangle \mathrm{ABD}$の内心を$\mathrm{O}$とするとき，内接円$\mathrm{O}$の半径は$1$である．円$\mathrm{O}$と$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BD}$との接点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．
(1)$\mathrm{AE}=[ア]+\sqrt{[イ]}$である．
(2)$\mathrm{AF}=[ウ]+\sqrt{[エ]}$である．
(3)$\mathrm{AO}=\sqrt{[オ]}+\sqrt{[カ]}$である．ただし，$[オ]<[カ]$とする．
(4)$\displaystyle \mathrm{FG}=\frac{\sqrt{[キ]}+\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$である．ただし，$[キ]<[ク]$とする．
(5)円$\mathrm{O}$の点$\mathrm{H}$を含まない弧$\mathrm{FG}$と線分$\mathrm{AF}$および線分$\mathrm{AG}$で囲まれた図形の面積は
\[ [コ]+\sqrt{[サ]}+\frac{[シ]}{[ス]}\pi \]
である．
(1)$\mathrm{AE}=[ア]+\sqrt{[イ]}$である．
(2)$\mathrm{AF}=[ウ]+\sqrt{[エ]}$である．
(3)$\mathrm{AO}=\sqrt{[オ]}+\sqrt{[カ]}$である．ただし，$[オ]<[カ]$とする．
(4)$\displaystyle \mathrm{FG}=\frac{\sqrt{[キ]}+\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$である．ただし，$[キ]<[ク]$とする．
(5)円$\mathrm{O}$の点$\mathrm{H}$を含まない弧$\mathrm{FG}$と線分$\mathrm{AF}$および線分$\mathrm{AG}$で囲まれた図形の面積は
\[ [コ]+\sqrt{[サ]}+\frac{[シ]}{[ス]}\pi \]
である．
私立 上智大学 2014年 第2問$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=3$，$\mathrm{CA}=2$である$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$上を動く点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{AP}=t$とする．点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$，辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$と一致するとき，点$\mathrm{Q}$も点$\mathrm{A}$と一致し，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}$と一致するとき，点$\mathrm{R}$も点$\mathrm{B}$と一致するものとする．
(1)$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{[サ]}{[シ]}t+[ス]$，$\displaystyle \mathrm{CR}=\frac{[セ]}{[ソ]}t+\frac{[タ]}{[チ]}$である．
(2)$\mathrm{QR}$は$t=[ツ]$のとき最大値$[テ] \sqrt{[ト]}$をとり，$\displaystyle t=\frac{[ナ]}{[ニ]}$のとき最小値$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$をとる．
(3)$\triangle \mathrm{CQR}$の面積は$\displaystyle t=\frac{[ノ]}{[ハ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$をとる．
(1)$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{[サ]}{[シ]}t+[ス]$，$\displaystyle \mathrm{CR}=\frac{[セ]}{[ソ]}t+\frac{[タ]}{[チ]}$である．
(2)$\mathrm{QR}$は$t=[ツ]$のとき最大値$[テ] \sqrt{[ト]}$をとり，$\displaystyle t=\frac{[ナ]}{[ニ]}$のとき最小値$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$をとる．
(3)$\triangle \mathrm{CQR}$の面積は$\displaystyle t=\frac{[ノ]}{[ハ]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]} \sqrt{[ヘ]}$をとる．
私立 松山大学 2014年 第3問次の空所$[ア]$～$[ソ]$を埋めよ．
図のような一辺が長さ$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとき，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$となり，正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウ]}}{[エオ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}=x$となるようにとる．四面体$\mathrm{PBQD}$の体積は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のときに最大となり，これは正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$倍である．
(3)$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のとき，$\angle \mathrm{DPQ}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$であり，$\triangle \mathrm{DPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シス]}}{[セソ]}$である．
図のような一辺が長さ$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$から底面$\mathrm{BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとき，$\mathrm{AH}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$となり，正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ウ]}}{[エオ]}$である．
(2)辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{CQ}=x$となるようにとる．四面体$\mathrm{PBQD}$の体積は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のときに最大となり，これは正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$倍である．
(3)$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]}$のとき，$\angle \mathrm{DPQ}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$であり，$\triangle \mathrm{DPQ}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[シス]}}{[セソ]}$である．