「垂線」について
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公立 名古屋市立大学 2015年 第4問空間内の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で，角度$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす．また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす（ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする）．さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
公立 北九州市立大学 2015年 第4問原点を$\mathrm{O}$として$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 4)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 3,\ 2)$をとる．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に引いた垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を中心とする半径$\mathrm{AQ}$の球面$\mathrm{S}$を考える．原点$\mathrm{O}$は球面$\mathrm{S}$の内側にあるか外側にあるかを答えよ．
(4)球面$\mathrm{S}$と線分$\mathrm{AB}$との交点のうち，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(1)点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に引いた垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を中心とする半径$\mathrm{AQ}$の球面$\mathrm{S}$を考える．原点$\mathrm{O}$は球面$\mathrm{S}$の内側にあるか外側にあるかを答えよ．
(4)球面$\mathrm{S}$と線分$\mathrm{AB}$との交点のうち，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
国立 九州大学 2014年 第3問鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$について，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A$，$B$，$C$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，外心を$\mathrm{O}$とし，外接円の半径を$R$とする．
(1)$\mathrm{A}$と$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を，それぞれ$\mathrm{AD}$，$\mathrm{OE}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=2R \sin B \sin C,\quad \mathrm{OE}=R \cos A \]
を証明せよ．
(2)$\mathrm{G}$と$\mathrm{O}$が一致するならば$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形でないとし，さらに$\mathrm{OG}$が$\mathrm{BC}$と平行であるとする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=3 \mathrm{OE},\quad \tan B \tan C=3 \]
を証明せよ．
(1)$\mathrm{A}$と$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を，それぞれ$\mathrm{AD}$，$\mathrm{OE}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=2R \sin B \sin C,\quad \mathrm{OE}=R \cos A \]
を証明せよ．
(2)$\mathrm{G}$と$\mathrm{O}$が一致するならば$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形でないとし，さらに$\mathrm{OG}$が$\mathrm{BC}$と平行であるとする．このとき，
\[ \mathrm{AD}=3 \mathrm{OE},\quad \tan B \tan C=3 \]
を証明せよ．
国立 横浜国立大学 2014年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$4$点
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
国立 横浜国立大学 2014年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$4$点
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
国立 京都大学 2014年 第1問座標空間における次の$3$つの直線$\ell$，$m$，$n$を考える：
$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．
$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．
$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．
$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．
国立 京都大学 2014年 第3問座標空間における次の$3$つの直線$\ell$，$m$，$n$を考える：
$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．
$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．
$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．
$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2014年 第4問座標空間に立方体$K$があり，原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(a,\ b,\ 0)$，$\mathrm{B}(r,\ s,\ t)$，$\mathrm{C}(3,\ 0,\ 0)$が次の条件をみたしている．
(i) $\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$は立方体$K$の辺である．
(ii) $\mathrm{OC}$は立方体$K$の辺ではない．
(iii) $b>0,\ t>0$
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)立方体$K$の一辺の長さ$l$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(4)辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}(x,\ 0,\ 0)$とする．$\mathrm{PH}$の長さを$x$を用いて表せ．
(5)立方体$K$を$x$軸を回転軸として$1$回転させて得られる回転体の体積$V$を求めよ．
(i) $\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$は立方体$K$の辺である．
(ii) $\mathrm{OC}$は立方体$K$の辺ではない．
(iii) $b>0,\ t>0$
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)立方体$K$の一辺の長さ$l$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(4)辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}(x,\ 0,\ 0)$とする．$\mathrm{PH}$の長さを$x$を用いて表せ．
(5)立方体$K$を$x$軸を回転軸として$1$回転させて得られる回転体の体積$V$を求めよ．
国立 愛知教育大学 2014年 第7問$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$上の点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$と，$x$軸上の点$\mathrm{Q}(\cos t,\ 0)$をとり，点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{Q}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PR}$と$\mathrm{QR}$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{PR}$を$x(t)$，$\mathrm{QR}$を$y(t)$とする．点$\mathrm{S}(x(t),\ y(t))$の軌跡を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PR}$と$\mathrm{QR}$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{PR}$を$x(t)$，$\mathrm{QR}$を$y(t)$とする．点$\mathrm{S}(x(t),\ y(t))$の軌跡を求めよ．
国立 山形大学 2014年 第2問$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt{x}$がある．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{t}) (t>0)$における接線を$\ell$とする．さらに，直線$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とするとき，$\triangle \mathrm{PQR}$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$t$を用いて表せ．