以下の各問いに答えよ．

(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．

以下の各問いに答えよ．

(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．

次の$[　]$に適する数を入れよ．

(1)製品$\mathrm{A}$は$3$つの部品$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$から構成される．部品$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$は,製造する過程において各々$\displaystyle \frac{1}{8}$の確率で低品質のものが発生する．製品$\mathrm{A}$に$2$つ以上の低品質の部品が含まれるとき，製品$\mathrm{A}$は不良品となる．製品$\mathrm{A}$を$1$つ製造するとき，それが不良品となる確率は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ][オ]}$である．

(2)$a$を実数，$k$を正の実数として
\[ F(a)=\int_a^k (x^2-a^2) \, dx \]
とおく．関数$F(a)$の極値の差が$72$となるような$k$の値は$[カ]$である．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=5$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$をみたすとする．$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，この垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{[キ]}{[ク]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．辺$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ][チ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．

平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}=6$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\mathrm{AB}=x$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{CD}$に垂線$\mathrm{AP}$を引き，点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{AD}$に垂直な直線と対角線$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$x$の式で表しなさい．
(3)$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}$が成り立つときの辺$\mathrm{AB}$の長さを求めなさい．
(4)線分$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{AD}$が平行になるときの辺$\mathrm{AB}$の長さを求めなさい．

座標空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ -1,\ 2)$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の周上または内部の点$\mathrm{P}$は$\mathrm{AP}=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たしているとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{OBP}$の面積を求めなさい．
(3)点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{A}$を中心とする半径$\sqrt{2}$の球面上を動くとき，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OQ}$に引いた垂線の長さの最小値を求めなさい．

座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$y=x^2$の上を相異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$は$\angle \mathrm{AOB}$が直角になるように動くとする．また，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a$と$b$がみたす関係を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を$y=px+q$とする．$q$の値を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から直線$\ell$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする．点$\mathrm{H}$の軌跡を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$が与えられている．線分$\mathrm{OC}$を$1$つの対角線とし，線分$\mathrm{AB}$を一辺とする立方体を直線$\mathrm{OC}$の周りに回転して得られる回転体$K$の体積を求めたい．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4)$K$の体積を求めよ．

四角形$\mathrm{ABCD}$がある．その内部の点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$またはそれらの延長に垂線$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$，$\mathrm{PG}$，$\mathrm{PH}$を下ろす．点$\mathrm{P}$の位置によらず，
\[ \mathrm{PE}+\mathrm{PG}=\mathrm{PF}+\mathrm{PH} \]
が成り立つとき，四角形$\mathrm{ABCD}$はどのような形であるか求めよ．

座標空間において，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$の定める平面を$\alpha$とし，$3$点$(0,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 1,\ 1)$，$(1,\ 0,\ 1)$の定める平面を$\beta$とする．また，平面$\alpha$と平面$\beta$が交わってできる直線を$\ell$とし，平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}$の座標を$(2,\ -1,\ 3)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$上の点を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と実数$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に垂線を下ろす．このとき，直線$\ell$と垂線との交点の座標を求めよ．

空間内の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で，角度$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす．また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす（ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする）．さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．