直線$4x-3y=0$と直線$x+2y-11=0$の交点$\mathrm{P}$の座標は$[ア]$である．また，$\mathrm{P}$を通り，直線$2x+5y-11=0$に垂直な直線の方程式は$y=[イ]$である．

円$x^2+(y-1)^2=1$とその内部を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．

(1)$t$を$-1 \leqq t \leqq 1$を満たす定数とする．この立体を$x$軸に垂直で$(t,\ 0)$を通る平面で切った断面の面積を$t$で表しなさい．
(2)この立体の体積を求めなさい．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)空間内の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(2,\ 2,\ 0)$とする．実数$p,\ q$を用いて点$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=p \overrightarrow{\mathrm{AB}}+q \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で定める．原点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$として，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直であるとき，$p=[ア]$，$q=[イ]$である．
(2)不等式$x+3<5 |x-1|$を満たす実数$x$の範囲は，$x<[ウ]$または$x>[エ]$である．
(3)多項式$(x^5+1)^2$を$x^2+x+1$で割った余りを$Ax+B$とすると，定数$A$と$B$は$A=[オ]$，$B=[カ]$である．
(4)$0<a<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (a^{2n}+a^{3n})=[キ]$である．
(5)大中小の$3$つのサイコロをふって，出た目の和が$9$になる確率は$[ク]$である．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x-\theta) \, dx$の最大値は$[ケ]$であり，最小値は$[コ]$である．

一直線上にない$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$があった．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,\ 2,\ 0)$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,\ 0,\ 2)$のとき，この$2$つのベクトルに垂直で大きさが$\sqrt{6}$であるベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めると，$\overrightarrow{p}=[ソ]$である．平面$\alpha$が点$(0,\ 1,\ 2)$を通るとき，原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$におろした垂線$\mathrm{OH}$の長さを求めると，$\mathrm{OH}=[タ]$である．

放物線$\displaystyle p:y=\frac{1}{4}x^2$がある．点$\mathrm{A}(1,\ 1)$から$y$軸に平行な直線を引き，放物線$p$との交点を点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$を通り，放物線$p$に接する直線を$\ell_1$とする．

(1)点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とすると，直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=[ク] \]
で表される．
(2)直線$\ell_2$に関して，点$\mathrm{A}$に対称な点$\mathrm{C}$の座標は，
\[ (x,\ y)=([ケ],\ [コ]) \]
である．
(3)点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_3$とすると，直線$\ell_3$と$y$軸との交点の座標は
\[ (x,\ y)=(0,\ [サ]) \]
となる．
(4)点$\mathrm{B}$とは異なる直線$\ell_3$と放物線$p$との交点を点$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$を通る直線と放物線$p$で囲まれた部分の面積は$[シ]$となる．
(5)点$\mathrm{D}$を通る放物線$p$の接線を$\ell_4$とする．点$\mathrm{D}$を通り，接線$\ell_4$に垂直な直線を$\ell_5$とする．直線$\ell_5$に関して，点$\mathrm{C}$に対称な点を点$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$を通る直線の方程式は
\[ x=[ス] \]
で表される．

辺$\mathrm{BC}$を斜辺とする直角三角形$\mathrm{ABC}$を考える．いま，$\angle \mathrm{B}={30}^\circ$，$\mathrm{AC}=1$であるとする．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AD}=1$となる点$\mathrm{D}$をとる．点$\mathrm{D}$を通る$\mathrm{BC}$に垂直な直線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)$\angle \mathrm{BCD}$の大きさを求めよ．
(2)$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{DH}$の長さを求めよ．
(4)$\sin {15}^\circ,\ \cos {15}^\circ$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{B}={30}^\circ$とする．辺$\mathrm{BC}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<t<1$とする．また，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{X}$とする．

(1)線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{QR}$が垂直になるように，実数$t$の値を定めよ．
(2)$(1)$で定めた$t$の値に対して，面積の比$\triangle \mathrm{ARX}:\triangle \mathrm{ABC}$を求めよ．

$a$を定数とし，次の式で与えられる直線$\ell,\ m,\ n$がある．

$\ell:(a+1)x+(a-2)y-5a+4=0$
$m:y=x$

$\displaystyle n:y=\frac{3}{2}x$

(1)$\ell$と$m$が平行のとき$\displaystyle a=\frac{[タ]}{[チ]}$である．

(2)$\ell$と$n$が垂直のとき$a=-[ツ]$である．
(3)$\ell$は$a$の値によらず定点$([テ],\ [ト])$を通る．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$がある．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$1$][$2$]}}{[$3$]}$である．
(2)点$\mathrm{C}$の位置を，位置ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
によって定める．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の比は
\[ \frac{\triangle \mathrm{ABC}}{\triangle \mathrm{OAB}}=\frac{[$4$]}{[$5$]} \]
である．
(3)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直な単位ベクトルのうちの$1$つは，
\[ \frac{\sqrt{[$6$][$7$]}}{21} \left( [$8$],\ -[$9$],\ 1 \right) \]
である．
(4)$t$を実数として，点$\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{t^2}{4},\ 4t,\ 19 \right)$を定める．このとき，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V(t)$は
\[ V(t)=\frac{[$10$]}{[$11$][$12$]} \left( t^2-[$13$]t+[$14$][$15$] \right) \]
である．
(5)数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\frac{n+1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$V(a_n)$は，$n=[$16$]$で最小となる．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle \int_2^4 (x^2+ax+2) \, dx=\frac{14}{3}$を満たす$a$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)実数$x$が$0<x<1$かつ${(\log_2 x)}^2+\log_2 x-6=0$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(4)$3$次方程式$(x-1)(x^2+ax+a+2)=0$が$2$重解をもつとき，$a$の値をすべて求めると，$[オ]$である．
(5)実数$a,\ b$を用いて$\displaystyle \frac{1}{2+i}+\frac{1}{3+4i}=a+bi$と表すとき，$a=[カ]$であり，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$3$つのさいころを同時に投げるとき，ちょうど$2$つのさいころが同じ目になる確率は$[ク]$である．
(7)ベクトル$(2,\ a,\ b)$が$2$つのベクトル$(1,\ -1,\ 3)$，$(-2,\ 1,\ 1)$に垂直であるとき，$(a,\ b)=[ケ]$である．
(8)底辺の長さが$a$，高さが$b$の三角形が$2a+b=6$を満たすとき，三角形の面積の最大値は$[コ]$である．