「垂直」について
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国立 東京医科歯科大学 2011年 第2問座標平面において，原点をOとし，次のような3点P，Q，Rを考える．
\mon[(a)] 点Pは$x$軸上にあり，その$x$座標は正である．
\mon[(b)] 点Qは第1象限にあって，$\text{OQ}=\text{QP}=1$を満たす．
\mon[(c)] 点Rは第1象限にあって，$\text{OR}+\text{RP}=2$を満たし，かつ線分RPが$x$軸に垂直となる．
ただし，座標軸は第1象限に含めないものとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)上の条件を満たす2点Q，Rが存在するような，点Pの$x$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(2)(1)の範囲を点Pが動くとき，線分QRが通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)線分OPの中点をMとする．(1)の範囲を点Pが動くとき，四角形MPRQの面積を最大にする点Pの$x$座標を求めよ．
\mon[(a)] 点Pは$x$軸上にあり，その$x$座標は正である．
\mon[(b)] 点Qは第1象限にあって，$\text{OQ}=\text{QP}=1$を満たす．
\mon[(c)] 点Rは第1象限にあって，$\text{OR}+\text{RP}=2$を満たし，かつ線分RPが$x$軸に垂直となる．
ただし，座標軸は第1象限に含めないものとする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)上の条件を満たす2点Q，Rが存在するような，点Pの$x$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(2)(1)の範囲を点Pが動くとき，線分QRが通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)線分OPの中点をMとする．(1)の範囲を点Pが動くとき，四角形MPRQの面積を最大にする点Pの$x$座標を求めよ．
国立 大分大学 2011年 第3問3点O，A，Bがあり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくと，$\displaystyle |\overrightarrow{a}|=3,\ |\overrightarrow{b}|=2,\ \cos \angle \text{AOB}=\frac{5}{6}$が成り立っている．OAの中点をPとし，半直線AB上に$\text{AB}:\text{AH}=1:s \ (s>0)$となる点Hをとる．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(2)直線OHと直線ABが垂直に交わるような$s$の値を求めよ．
(3)(2)のとき，直線OHと直線PBの交点をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
国立 山梨大学 2011年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2,\ \mathrm{OB}=3,\ \mathrm{AB}=k$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$k$を用いて表し，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす$s$を$k$を用いて表せ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$k=4$のとき線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$k$を用いて表し，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OB}$に垂直な直線と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たす$s$を$k$を用いて表せ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{Q}$とし，直線$\mathrm{OQ}$と直線$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$k=4$のとき線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．
国立 山形大学 2011年 第3問座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{D}$は円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{APBQ}$の面積の最大値を求めよ．
(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{D}$は円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{APBQ}$の面積の最大値を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第1問座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径2の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点をA，Bとし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点をP，Qとする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点Dは円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦ABの長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦PQの長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形APBQの面積の最大値を求めよ．
(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点Dは円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦ABの長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦PQの長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形APBQの面積の最大値を求めよ．
国立 和歌山大学 2011年 第2問平行四辺形OABCにおいて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
国立 和歌山大学 2011年 第2問平行四辺形OABCにおいて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}= \overrightarrow{\mathrm{CO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}} \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．$|\overrightarrow{c}|$を$|\overrightarrow{a}|$を用いて表せ．また，$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)辺ABを$m:(1-m)$に内分する点をD，辺CBを$m:(1-m)$に内分する点をEとする．ただし，$0<m<1$である．線分CDと線分OEが垂直であるとき，$m$の値を求めよ．
国立 東京農工大学 2011年 第1問座標平面上に放物線$y=x^2-2x+3$と点A$(2,\ t) \ (t<3)$がある．この放物線に点Aから引いた2本の接線の接点をそれぞれP，Qとする．ただし，$x$座標の大きな方をPとする．また，2点P，Qを通る直線と$y$軸との交点をRとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Pの$x$座標を$t$の式で表せ．
(2)点Rの$y$座標を$t$の式で表せ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$が垂直になるような$t$の値を$t_0$とする．$t_0$を求めよ．
(4)$t=t_0$のときのA，P，Q，Rについて，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$と表す．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は実数とする．
(1)点Pの$x$座標を$t$の式で表せ．
(2)点Rの$y$座標を$t$の式で表せ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$が垂直になるような$t$の値を$t_0$とする．$t_0$を求めよ．
(4)$t=t_0$のときのA，P，Q，Rについて，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$と表す．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は実数とする．
国立 お茶の水女子大学 2011年 第3問Oを原点とする座標平面上に，方程式$x^2+4y^2=4$で表される楕円$E$がある．楕円$E$の外部の点P$(p,\ q)$から$E$に引いた2本の接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．
(1)$p \neq \pm 2$のとき，$\ell_1,\ \ell_2$の傾きをそれぞれ$k_1,\ k_2$とする．$k_1,\ k_2$の和と積を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が垂直となるような点Pの軌跡を求めよ．
(3)長方形ABCDの各辺が楕円$E$に接するとき，OAとABのなす角を$\theta$とする．長方形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(4)(3)の長方形ABCDの面積の最大値と最小値を求めよ．
(1)$p \neq \pm 2$のとき，$\ell_1,\ \ell_2$の傾きをそれぞれ$k_1,\ k_2$とする．$k_1,\ k_2$の和と積を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が垂直となるような点Pの軌跡を求めよ．
(3)長方形ABCDの各辺が楕円$E$に接するとき，OAとABのなす角を$\theta$とする．長方形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(4)(3)の長方形ABCDの面積の最大値と最小値を求めよ．
国立 旭川医科大学 2011年 第3問曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$と曲線$y=e^{-x}$が一点で交わり，交点におけるそれぞれの接線が垂直に交わっているとする．次の問いに答えよ．
(1)交点の座標を$(x(a),\ y(a))$とおくとき，$b,\ x(a),\ y(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$を$C(a)$で表す．曲線$C(a)$と曲線$C(a+1)$の交点の$x$座標を$X(a)$とおくとき，
\[ \lim_{a \to \infty}(X(a)-x(a)) \]
を求めよ．
(3)$X(a)-x(a)$は$a \geqq 1$のとき単調減少であることを示せ．
(1)交点の座標を$(x(a),\ y(a))$とおくとき，$b,\ x(a),\ y(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)曲線$y=e^{ax+b} \ (a \geqq 1)$を$C(a)$で表す．曲線$C(a)$と曲線$C(a+1)$の交点の$x$座標を$X(a)$とおくとき，
\[ \lim_{a \to \infty}(X(a)-x(a)) \]
を求めよ．
(3)$X(a)-x(a)$は$a \geqq 1$のとき単調減少であることを示せ．