「垂直」について
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国立 佐賀大学 2012年 第6問$a>0$のとき，放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C$の接線を$\ell_1$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$と垂直な直線を$\ell_2$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell_2$と放物線$C$との交点のうち，点$\mathrm{P}$と異なる方を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a$の式で表せ．
(2)放物線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の式で表せ．
(3)(2)の$S$の最小値を求めよ．またそのときの$a$の値を求めよ．
(1)直線$\ell_2$と放物線$C$との交点のうち，点$\mathrm{P}$と異なる方を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a$の式で表せ．
(2)放物線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の式で表せ．
(3)(2)の$S$の最小値を求めよ．またそのときの$a$の値を求めよ．
国立 九州工業大学 2012年 第1問関数$f(x)=kx^3-3kx \ (k>0)$が表す座標平面上の曲線を$C:y=f(x)$とする．曲線$C$上の2点P$(p,\ f(p))$，Q$(ap,\ f(ap))$における接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$p>0,\ a \neq 1$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点Pにおける接線$\ell_1$の方程式を$k,\ p$を用いて表せ．
(2)点Qにおける接線$\ell_2$が点Pを通るとき，$a$の値を求めよ．
(3)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，$k$を$p$を用いて表せ．また，そのような$k$が存在する$p$の値の範囲を求めよ．
(4)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，接線$\ell_2$と曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(1)点Pにおける接線$\ell_1$の方程式を$k,\ p$を用いて表せ．
(2)点Qにおける接線$\ell_2$が点Pを通るとき，$a$の値を求めよ．
(3)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，$k$を$p$を用いて表せ．また，そのような$k$が存在する$p$の値の範囲を求めよ．
(4)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，接線$\ell_2$と曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を$p$を用いて表せ．
国立 新潟大学 2012年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{OB},\ \mathrm{OA} = 3,\ \mathrm{OB} = 4,\ \mathrm{OC} = 5$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{CG}$は$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面に垂直とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第3問四面体OABCにおいて，
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第2問四面体OABCにおいて，
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第2問四面体OABCにおいて，
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第3問点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と点$\mathrm{P}_0(-1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_0$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(3,\ \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$上の点の列
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第3問点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と点$\mathrm{P}_0(-1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_0$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(3,\ \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$上の点の列
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第2問点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と点$\mathrm{P}_0(-1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_0$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(3,\ \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$上の点の列
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)$t_2,\ t_3,\ t_4$の値を求めよ．
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)$t_2,\ t_3,\ t_4$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第4問$a$は0でない定数とする．座標平面上の3点A$(a+2,\ a+1)$，B$(9,\ 0)$，C$(2,\ 1)$について，線分ABと線分ACが垂直のとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)自然数$n$について，線分ABを$n:n+4$に内分する点をP$_n$，線分BCを$3:n$に内分する点をQ$_n$，線分CAを$n:1$に内分する点をR$_n$とする．$\triangle$P$_n$Q$_n$R$_n$の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle T_m=\sum_{n=1}^m \frac{S_n}{n}$とするとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T_m$を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)自然数$n$について，線分ABを$n:n+4$に内分する点をP$_n$，線分BCを$3:n$に内分する点をQ$_n$，線分CAを$n:1$に内分する点をR$_n$とする．$\triangle$P$_n$Q$_n$R$_n$の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle T_m=\sum_{n=1}^m \frac{S_n}{n}$とするとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}T_m$を求めよ．