曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を曲線$C$とする．曲線$C$と直線$y=mx$の交点を点$\mathrm{P}$，曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$との交点を点$\mathrm{Q}$とする．ここで傾き$m$を$\displaystyle m>\frac{1}{2}$の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線$L$の方程式を求めよ．
(3)接線$L$と直線$y=mx$の交点の座標を，$m$を用いて表せ．
(4)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分をそれぞれ$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$とする．曲線$C$と$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれた部分の面積$A$を，$m$を用いて表せ．
(5)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$から$y$軸に垂直に引いたそれぞれの線分と，$y$軸および曲線$C$で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転してできる体積を，$m$を用いて表せ．

曲線$y=x^2$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2) \ (\alpha<0)$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．また，この接線$\ell$上の点$\mathrm{P}$から，曲線$C$に$\ell$とは異なる接線$m$をひく．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$p$とし，$p>\alpha$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)接線$m$の曲線$C$との接点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線が，直線$\ell$と垂直となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$を(2)で求めたものとする．このとき，点$\mathrm{P}$を通り，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積を$2$等分する直線の方程式を求めよ．

座標空間内で$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．辺$\mathrm{AB}$上の点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$上の点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{DE}$上の点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{DE}$は辺$\mathrm{BC}$に平行とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\beta \overrightarrow{\mathrm{DE}}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\alpha,\ \beta$は実数とし，$0<\alpha<1$，$0<\beta<1$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\alpha$，$\beta$によって表し，次に$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を成分表示せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$に垂直となる$\mathrm{P}$の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$の両方に垂直となる$\alpha$の値を求めよ．
(4)点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，点$\mathrm{A}(-4,\ 8,\ 2)$を通りベクトル$\overrightarrow{u}=(3,\ 0,\ 1)$に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{B}(10,\ 3,\ -4)$を通りベクトル$\overrightarrow{v}=(-1,\ 3,\ 0)$に平行な直線を$m$とする．$\mathrm{P}$を$\ell$上の点とし，$\mathrm{Q}$を$m$上の点とする．このとき，実数$s,\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s \overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=t \overrightarrow{v}$と表すことができる．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の成分を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$直線$\ell$と$m$は共有点をもたないことを証明せよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$の両方に垂直となるとき，点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

座標平面上に，点$\mathrm{A}(0,\ -2)$と円$C:x^2+(y-2)^2=4$がある．円$C$上の点$\mathrm{P}$に対し，線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{M}$を通り$\mathrm{AP}$に垂直な直線を$\ell$とする．下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を求めよ．
(2)直線$\ell$が円$C$に接するとき，点$\mathrm{M}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，直線$\ell$が通る点全体の領域を求め，図示せよ．

$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 1,\ -1)$と$\overrightarrow{b}=(1,\ 2,\ 4)$について次の設問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}$が垂直となるように実数$t$の値を定めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(x,\ 1)$について，$2 \overrightarrow{a}-3 \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$が垂直になるように，実数$x$を定めると$x=[　]$．
(2)青玉$10$個，黄玉$10$個，黒玉$10$個，緑玉$10$個，赤玉$10$個の合計$50$個が入った壺がある．最初に$1$個とり出して，見ずに箱にしまっておく．その後，壺から$1$個ずつ玉を戻さずに$3$回とり出したら，$3$個とも赤玉であった．箱にしまっておいた玉が赤玉である確率は$[　]$．
(3)曲線$y=-x(x-2)$と$x$軸で囲まれた面積を，直線$y=(-a+2)x$が$2$等分するとき，定数$a$を定めると$a=[　]$．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，位置ベクトル$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は垂直であるとする．$\overrightarrow{a}=\sqrt{5}\overrightarrow{p}-2 \overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{b}=2 \sqrt{5}\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$とおく．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$であるとき，次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ．

(4)点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり，点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$とは異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，位置ベクトル$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は垂直であるとする．$\overrightarrow{a}=\sqrt{5}\overrightarrow{p}-2 \overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{b}=2 \sqrt{5}\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$とおく．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$であるとき，次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を$|\overrightarrow{p}|$，$|\overrightarrow{q}|$を用いて表せ．

(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{q}|}$の値を求めよ．

(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$の値を求めよ．

(4)点$\mathrm{P}$が放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$上にあり，点$\mathrm{Q}$が円$x^2+y^2=15$上にあるとき，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$の成分を求めよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲において，曲線$C_1:y=\sin 2x$と曲線$C_2:y=\cos x$の交点の$x$座標を$a,\ b,\ c \ (a<b<c)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)交点$(b,\ \sin 2b)$における$2$つの曲線$C_1$と$C_2$のそれぞれの接線は垂直ではないことを示せ．
(3)$a \leqq x \leqq b$の範囲で$2$つの曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$b \leqq x \leqq c$の範囲で$2$つの曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$2$つの面積の比$S_1:S_2$を求めよ．
(4)曲線$C_1$の$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．