曲線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}(b,\ b^2)$における接線を$\ell_2$とする．ただし，$a<b$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{PR}$，線分$\mathrm{QR}$および曲線$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．

(1)$\mathrm{R}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$S$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$が垂直であるときの$S$の最小値を求めよ．

放物線$C:y=x^2+2x$上の$2$点$(a,\ a^2+2a)$，$(b,\ b^2+2b)$における接線をそれぞれ$\ell_a$，$\ell_b$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a<b$とする．

(1)$2$直線$\ell_a,\ \ell_b$の方程式を求めよ．また，$\ell_a$と$\ell_b$の交点の$x$座標を求めよ．
(2)放物線$C$と$2$直線$\ell_a,\ \ell_b$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$2$直線$\ell_a,\ \ell_b$が垂直に交わるように$a,\ b$が動くとき，$a,\ b$がみたす関係式を求めよ．また，そのときの面積$S$の最小値とそれを与える$a,\ b$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．平面上の$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}-3 \overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{a^2+9}$を満たしている．点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるように定め，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるとき，$a$の値と三角形$\mathrm{OQR}$の面積を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CM}$上に，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=y \overrightarrow{\mathrm{CM}}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$が垂直であるとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)$x$が$0<x<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{CMP}$の面積の最小値を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{4}{x}$上に$2$点$\mathrm{P}(1,\ 4)$，$\mathrm{Q}(4,\ 1)$をとる．直線$\ell:y=kx (k<0)$に垂直な直線で$\mathrm{P}$を通るものを$\ell_{\mathrm{P}}$とし，$\mathrm{Q}$を通るものを$\ell_{\mathrm{Q}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\ell_{\mathrm{P}}$，$\ell_{\mathrm{Q}}$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_{\mathrm{P}}$と$\ell$の交点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．また，$\ell_{\mathrm{Q}}$と$\ell$の交点$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．
(3)$C,\ \ell,\ \ell_{\mathrm{P}},\ \ell_{\mathrm{Q}}$で囲まれた図形の面積$M$を求めよ．
(4)$k$を動かすとき，$M$の最大値を求めよ．

四面体$\mathrm{ABPQ}$は$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=3$，$\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}=2 \sqrt{2}$，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{12}{5}$，$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{4}$を満たすとする．点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．

(1)線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{PHQ}$の大きさを$\theta$とする．$\sin \theta$の値を求めよ．
(3)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は垂直であることを証明せよ．
(4)四面体$\mathrm{ABPQ}$の体積を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{2}{3}$が成り立つとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\alpha$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\beta$として次の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直となるようにとる．このとき，$\alpha$，$\beta$を$s,\ t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$(1)$の点$\mathrm{H}$に対して，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HG}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{c}$となるとき，$\alpha$，$\beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$，$\beta$が$(2)$で求めた値をとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$の値を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{2}{3}$が成り立つとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\alpha$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\beta$として次の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$と表される点$\mathrm{H}$を，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$が$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$と垂直となるようにとる．このとき，$\alpha$，$\beta$を$s,\ t$の式で表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$(1)$の点$\mathrm{H}$に対して，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HG}}=\frac{1}{3} \overrightarrow{c}$となるとき，$\alpha$，$\beta$の値を求めよ．
(3)$\alpha$，$\beta$が$(2)$で求めた値をとるとき，$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$の値を求めよ．

座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$を考える．$x$軸上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\mathrm{AQ}=\mathrm{QP}$であることを証明せよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡はどのような曲線を描くか図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}$は$x$軸の閉区間$[0,\ 1]$にあるとする．このとき，直線$\ell$が正方形$\mathrm{ABCO}$を二つの部分に切る．そのうちの点$\mathrm{C}$を含む部分の面積を$S$とする．$S$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{G}$とおき，正の実数$t$に対して$\mathrm{DE}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{H}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{FG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$が垂直に交わるとき，$t$を求めよ．
(5)$(4)$において，その交点を$\mathrm{O}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(6)$(5)$の点$\mathrm{O}$に対して，線分$\mathrm{AO}$の長さを求めよ．