「垂直」について
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公立 県立広島大学 2015年 第3問$s,\ t$を実数とし，原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に定点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$と動点$\mathrm{P}(s,\ s+2,\ t)$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と垂直であるか$\overrightarrow{\mathrm{0}}$である．次の問いに答えよ．
(1)$t^2$を$s$を用いて表せ．
(2)$y$軸上の定点$\mathrm{B}(0,\ k,\ 0)$に対して，動点$\mathrm{P}$が変化しても$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$が常に一定となる定数$k$の値を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$のとる値の範囲を求めよ．
(1)$t^2$を$s$を用いて表せ．
(2)$y$軸上の定点$\mathrm{B}(0,\ k,\ 0)$に対して，動点$\mathrm{P}$が変化しても$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$が常に一定となる定数$k$の値を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$のとる値の範囲を求めよ．
公立 大阪市立大学 2015年 第4問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$が与えられている．線分$\mathrm{OC}$を$1$つの対角線とし，線分$\mathrm{AB}$を一辺とする立方体を直線$\mathrm{OC}$の周りに回転して得られる回転体$K$の体積を求めたい．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4)$K$の体積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4)$K$の体積を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第4問空間内の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で，角度$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす．また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす（ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする）．さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第4問空間内の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で，角度$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす．また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす（ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする）．さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され，かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
(1)角度$\theta$を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す．
(3)$c_1=c_2=c$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように，空間上に点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$を与える．四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を，$b,\ c$を用いて表せ．
(4)$(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{B}$により定まる平面に対し，点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき，垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ．
公立 大阪府立大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$が与えられており，各辺の長さが
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=2,\quad \mathrm{CA}=3 \]
であるとする．また，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$\beta$とし，点$\mathrm{B}$を通り平面$\alpha$に垂直な直線を$g$，点$\mathrm{C}$を通り平面$\beta$に垂直な直線を$h$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)直線$g$と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{P}$，直線$h$と平面$\beta$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ．
(3)直線$g$と直線$h$は交わることを示せ．また，直線$g$と直線$h$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を表せ．
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=2,\quad \mathrm{CA}=3 \]
であるとする．また，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$，点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$\beta$とし，点$\mathrm{B}$を通り平面$\alpha$に垂直な直線を$g$，点$\mathrm{C}$を通り平面$\beta$に垂直な直線を$h$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)直線$g$と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{P}$，直線$h$と平面$\beta$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ．
(3)直線$g$と直線$h$は交わることを示せ．また，直線$g$と直線$h$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を表せ．
公立 北九州市立大学 2015年 第3問$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．また，円$C$上で点$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{P}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta)$とおく．ただし，$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす．線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{AP}$の垂直$2$等分線と円$C$の交点を各々$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．ただし，$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，円$C$上に反時計回りに$\mathrm{ARPQ}$の順に並ぶようにとる．以下の問題に答えよ．
(1)中点$\mathrm{M}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{Q},\ \mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さを求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{ARPQ}$の面積を$S$とおく．面積$S$を$\theta$を用いて表せ．また，面積$S$が最大となるとき，$\theta$の値と面積$S$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{APQ}$と$\triangle \mathrm{ARP}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(1)中点$\mathrm{M}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{Q},\ \mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{QR}$の長さを求めよ．また，線分$\mathrm{AP}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{ARPQ}$の面積を$S$とおく．面積$S$を$\theta$を用いて表せ．また，面積$S$が最大となるとき，$\theta$の値と面積$S$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{APQ}$と$\triangle \mathrm{ARP}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
国立 神戸大学 2014年 第3問空間において，原点$\mathrm{O}$を通らない平面$\alpha$上に一辺の長さ$1$の正方形があり，その頂点を順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}} \]
が，平面$\alpha$と垂直であることを示せ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}} \]
が，平面$\alpha$と垂直であることを示せ．
国立 神戸大学 2014年 第3問空間において，原点$\mathrm{O}$を通らない平面$\alpha$上に一辺の長さ$1$の正方形があり，その頂点を順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}} \]
が，平面$\alpha$と垂直であることを示せ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}} \]
が，平面$\alpha$と垂直であることを示せ．
国立 北海道大学 2014年 第1問$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2+\frac{3}{2},\quad C_2:y=(x-a)^2+a \quad (a>0) \]
がある．点$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( p,\ -p^2+\frac{3}{2} \right)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないための$a$に関する条件を求めよ．
(2)$\ell_1$と平行な$C_2$の接線$\ell_2$の方程式と，$\ell_2$と$C_2$の接点$\mathrm{P}_2$の座標を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないとする．$(2)$で求めた$\mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_1$を結ぶ線分が$\ell_1$と垂直になるとき，$p$を求めよ．
\[ C_1:y=-x^2+\frac{3}{2},\quad C_2:y=(x-a)^2+a \quad (a>0) \]
がある．点$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( p,\ -p^2+\frac{3}{2} \right)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないための$a$に関する条件を求めよ．
(2)$\ell_1$と平行な$C_2$の接線$\ell_2$の方程式と，$\ell_2$と$C_2$の接点$\mathrm{P}_2$の座標を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないとする．$(2)$で求めた$\mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_1$を結ぶ線分が$\ell_1$と垂直になるとき，$p$を求めよ．
国立 大阪大学 2014年 第1問$i$は虚数単位とし，実数$a,\ b$は$a^2+b^2>0$を満たす定数とする．複素数$(a+bi)(x+yi)$の実部が$2$に等しいような座標平面上の点$(x,\ y)$全体の集合を$L_1$とし，また$(a+bi)(x+yi)$の虚部が$-3$に等しいような座標平面上の点$(x,\ y)$全体の集合を$L_2$とする．
(1)$L_1$と$L_2$はともに直線であることを示せ．
(2)$L_1$と$L_2$は互いに垂直であることを示せ．
(3)$L_1$と$L_2$の交点を求めよ．
(1)$L_1$と$L_2$はともに直線であることを示せ．
(2)$L_1$と$L_2$は互いに垂直であることを示せ．
(3)$L_1$と$L_2$の交点を求めよ．