曲線$C:y=x^2$上に，$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{B}^\prime (-b,\ b^2)$が与えられている．ただし，$-b<a<0<b$とする．

(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を結ぶ直線$\ell$の方程式は，$[　]$である．
(2)点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通り，$y$軸に平行な直線が$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$a<p<b$とする．$\mathrm{PQ}$の長さは，$[　]$である．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を固定して，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の間を動くとき，$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最大値は，$[　]$である．
(4)$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$を固定して，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$が$C$上で$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}^\prime$の間を動くとき，四角形$\mathrm{BB}^\prime \mathrm{AP}$の面積の最大値を求めよ．またこのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$の位置を求めよ．

次のア～へに当てはまる$0$～$9$の数字を解答欄に入れよ．

(1)$0 \leqq x,\ y$かつ$3x+2y=4$を満たす$(x,\ y)$に対して，$\displaystyle x^3+\frac{8}{3}y^3$は，$(x,\ y)=([ア],\ [イ])$のとき，最大値$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$となり，$\displaystyle (x,\ y)=\left( [カ],\ \frac{[キ]}{[ク]} \right)$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$となる．

(2)$0 \leqq y \leqq 4x-2x^2$を満たす$(x,\ y)$にたいして，$z=4x^2+2xy-8x$の最大値と最小値を考える．条件から考える$x$の範囲は，$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．この範囲の$x$を$1$つ固定して，$z$の値を考えると，$z$は，$y$についての$1$次式だから，固定された$x$にたいして，$z$は$y=[ス]x-[セ]x^2$のとき，最も大きく$z=-[ソ]x^3+[タチ]x^2-[ツ]x$となる．従って，考える範囲の$(x,\ y)$にたいしては，$\displaystyle (x,\ y)=\left( [テ]+\frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]},\ \frac{[ニ]}{[ヌ]} \right)$のとき，$z$は最大値$\displaystyle \frac{[ネ] \sqrt{[ノ]}}{[ハ]}$となる．同様のやり方で最小値をもとめると，$(x,\ y)=([ヒ],\ [フ])$のとき，$z$は最小値$-[ヘ]$となる．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，放物線$F:y=x^2+1$および，点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を中心とする半径$4$の円$C$がある．$F$上に点$\mathrm{P}(t,\ t^2+1)$，$C$上に点$\mathrm{Q}(a,\ b)$をとる．

(1)$\mathrm{P}$における放物線$F$の接線と直線$\mathrm{AP}$とが直交するとき，線分$\mathrm{AP}$の長さは$[タ] \sqrt{[チ]}$である．
(2)$\mathrm{Q}$を固定し，$\mathrm{P}$のみが動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle t=\frac{[ツ]}{[テ]} \frac{b}{a}$で最小値をとる．その最小値を$a$で表すと
\[ \frac{1}{8} \left( [ト]a+\frac{[ナ]}{a}+[ニ] \right) \]
である．
(3)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle a=\frac{[ヌ]}{[ネ]} \sqrt{[ノ]}$で最小値
\[ \frac{[ハ]}{[ヒ]}+\frac{[フ]}{[ヘ]} \sqrt{[ホ]} \]
をとる．

$xy$平面上の原点O，定点A$(a,\ 0) \ (a>0)$，定点B$(0,\ b) \ (b>0)$を頂点とする直角三角形OABがある．直角三角形OAB内の点M$(p,\ q)$から辺OA，OB，ABに引いた垂線と各辺との交点をそれぞれE，F，Gとする．

(1)$L=\text{ME} \cdot \text{MF} \cdot \text{MG}$とおいたとき，$L$を$a,\ b,\ p,\ q$で表せ．
(2)$L$において，$q$を固定し，$p$を変数としたとき，$L$の最大値$L_1$を$a,\ b,\ q$で表せ．
(3)$L_1$において，$q$を変数としたとき，$L_1$の最大値$L_2$を$a,\ b$で表せ．

半径3の球$T_1$と半径1の球$T_2$が，内接した状態で空間に固定されている．半径1の球$S$が次の条件(A)，(B)を同時に満たしながら動く．
\begin{eqnarray}
\text{(A)} \quad S \text{は} T_1 \text{の内部にあるか} T_1 \text{に内接している．} \nonumber \\
\text{(B)} \quad S \text{は} T_2 \text{の外部にあるか} T_2 \text{に外接している．} \nonumber
\end{eqnarray}
$S$の中心が存在しうる範囲を$D$とするとき，立体$D$の体積を求めよ．

下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点P$(s,\ t) \ (t>2)$から，円$x^2+(y-1)^2=1$に引いた2本の接線と$x$軸の交点をそれぞれQ$(\alpha,\ 0)$，R$(\beta,\ 0) \ (\alpha>\beta)$とする．点Pの$y$座標$t$を固定して$x$座標$s$を変化させるとき，$\alpha-\beta$の最小値を求めよ．
(2)半径1の円に外接する三角形の3辺の長さの和の最小値を求めよ．

半径$1$の球に内接する直方体を考える．これらの体積の最大値$M$を求めたい．

(1)直方体の$1$つの辺の長さを$x$と固定したときの直方体の体積の最大値$V(x)$を求めよ．
(2)$M$を求めよ．

座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円を$C$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を原点に関して対称な位置にとる．また，点$\mathrm{Q}$を平面上の任意の点とし，$L={\mathrm{QP}_1}^2+{\mathrm{QP}_2}^2$とおく．

(1)$\mathrm{Q}$を固定したとき，$L$は$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$のとり方に依存せず一定であることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$が放物線$y=-x^2+5x-8$上を動くとき，$L$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．