$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$xy$平面上の$2$点$\mathrm{P}(t,\ t)$，$\mathrm{Q}(t-1,\ 1-t)$を結ぶ線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．

座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t-5,\ t^2-4t+2)$に対して，$t$が$1 \leqq t \leqq 3$の範囲を動くとき，以下の各問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$を表す直線の方程式および定義域を，$t$を用いて表せ（答えのみでよい）．
(2)線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲$D$を求め，図示せよ．

$f(x)=x^3-x$とする．$xy$平面上の点$(p,\ q)$から曲線$y=f(x)$へ引いた接線を考える．次の問に答えよ．

(1)直線$y=m(x-p)+q$が曲線$y=f(x)$の接線となるための条件を$m,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)点$(p,\ q)$から曲線$y=f(x)$に$3$本の接線を引くことができるとき，$p,\ q$の条件を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たす点$(p,\ q)$の範囲を図示せよ．

$xyz$空間上に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ \sqrt{3})$をとる．$xy$平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b,\ 0)$は，線分$\mathrm{AP}$の長さが$2$で，$a \geqq 0$，$b \geqq 0$となるように動く．このとき線分$\mathrm{AP}$がえがく図形を$F$とする．次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．
(2)点$\mathrm{Q}(x,\ y,\ z)$を図形$F$上の点とするとき，$z$を$x,\ y$を用いて表せ．
(3)図形$F$，座標平面$x=0$，$y=0$，$z=0$によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体を$V$とする．$V$の平面$x=t$による切り口の面積$S(t)$を，$t$を用いて表せ．
(4)$V$の体積を求めよ．

$3$点$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を頂点とする三角形を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{D}$の$1$辺を選び，その中点を中心として$\mathrm{D}$を${180}^\circ$回転させる．このようにして$\mathrm{D}$から得られる$3$個の三角形からなる集合を$S_1$とする．$S_1$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる．このようにして$S_1$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_2$とする．$S_2$は$7$個の三角形からなる集合であり，その中には$\mathrm{D}$も含まれる．一般に，自然数$n$に対して$S_n$まで定義されたとき，$S_n$から一つ三角形を選び，さらにその三角形の$1$辺を選び，その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる．このようにして$S_n$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_{n+1}$とする．次の問に答えよ．

(1)$S_3$の要素を全て図示せよ．
(2)$m$を自然数とする．$S_{2m}$から一つ三角形を選び，その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える．三角形の選び方をすべて考えたときの，この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ．

複素数平面上で，等式
\[ \frac{z-1}{z+1}=|\displaystyle\frac{z-1|{z+1}}i \]
を満たす点$z$全体が表す図形を求め，その図形を複素数平面上に図示せよ．ただし，$i$は虚数単位で，複素数$w$に対して$|w|$は$w$の絶対値を表す．

不等式
\[ x^2+y^2-2x-2y+1 \leqq 0 \]
の表す領域を$A$とし，不等式
\[ \log_{10}(y-1)-2 \log_{10}|x-1| \geqq 0 \]
で表される領域を$B$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A$を図示せよ．
(2)$B$を図示せよ．
(3)点$(x,\ y)$が$A$と$B$の共通部分$A \cap B$を動くとき，$x+y$の最大値および最小値を求めよ．

$f(x)=2x^3+(a-1)x^2-a+1$（$a$は$a \neq 1$を満たす実数）とするとき，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフは$a$の値によらず$2$定点を通ることを示し，その座標を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を与える$x$の値$m$を求めよ．
(3)$a$が$a \neq 1$を満たす実数全体を動く．$(2)$の$m$に対し，点$(m,\ f(m))$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．

複素数平面において，円$|z|=1$を$C$とする．

(1)$\alpha=a+bi$を$C$上の点とする．複素数$w=x+yi$が$\alpha$を通る$C$の接線上にあるための条件を実数$a,\ b,\ x,\ y$を用いて表せ．
(2)次の条件を満たす$C$上の点$\alpha$の描く図形を図示せよ．
\[ \text{条件：} \quad \left\{ \begin{array}{l}
\alpha \overline{w}+\overline{\alpha}w=2 \\
|w-4|=1
\end{array} \right. \text{を同時に満たす複素数$w$が存在する．} \]

$xyz$空間に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{P}$は以下の条件を満たすとする．

(i) $\mathrm{AP}=2$．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標は$1$．
(iii) 線分$\mathrm{AP}$は$xy$平面と交わる．ただし，点$\mathrm{P}$が$xy$平面上にあるときは，線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面は点$\mathrm{P}$で交わるものとする．

このとき線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の$z$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$t$がとりうる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$の座標を$(u,\ v,\ 0)$とするとき，$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，点$(u,\ v)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．