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国立 福井大学 2016年 第4問$a$を正の定数とし，$f(x)=(x+a) \log x$とする．曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における接線$\ell$が原点を通るとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$の値と，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸，および接線$\ell$とで囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(3)定数$k$が$\displaystyle k \geqq \frac{1}{a}$を満たすとき，関数$g(x)=(x+k) \log x$は極値を持たないことを示せ．
(1)$a$の値と，接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸，および接線$\ell$とで囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(3)定数$k$が$\displaystyle k \geqq \frac{1}{a}$を満たすとき，関数$g(x)=(x+k) \log x$は極値を持たないことを示せ．
国立 福井大学 2016年 第1問関数$f(x)=e^x+e^{-x}$があり，$g(x)=f^\prime(x)$，$h(x)=xf(x)$とおく．$a$を実数として，点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の法線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(a,\ g(a))$における曲線$y=g(x)$の法線を$m$とする．$\ell$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{R}$の座標を，$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$，$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)$\mathrm{R}$の座標を，$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$，$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
私立 山口東京理科大学 2016年 第5問次の$2$つの放物線
\[ y=x^2+2x-4,\quad y=-x^2+2x+2 \]
を考える．
(1)$2$つの放物線の交点における$x$座標は，$\pm \sqrt{[ハ]}$である．
(2)$2$つの放物線で囲まれた図形の面積は，$[ヒ] \sqrt{[フ]}$である．
\[ y=x^2+2x-4,\quad y=-x^2+2x+2 \]
を考える．
(1)$2$つの放物線の交点における$x$座標は，$\pm \sqrt{[ハ]}$である．
(2)$2$つの放物線で囲まれた図形の面積は，$[ヒ] \sqrt{[フ]}$である．
私立 早稲田大学 2016年 第5問$xyz$空間上に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ \sqrt{3})$をとる．$xy$平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b,\ 0)$は，線分$\mathrm{AP}$の長さが$2$で，$a \geqq 0$，$b \geqq 0$となるように動く．このとき線分$\mathrm{AP}$がえがく図形を$F$とする．次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．
(2)点$\mathrm{Q}(x,\ y,\ z)$を図形$F$上の点とするとき，$z$を$x,\ y$を用いて表せ．
(3)図形$F$，座標平面$x=0$，$y=0$，$z=0$によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体を$V$とする．$V$の平面$x=t$による切り口の面積$S(t)$を，$t$を用いて表せ．
(4)$V$の体積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．
(2)点$\mathrm{Q}(x,\ y,\ z)$を図形$F$上の点とするとき，$z$を$x,\ y$を用いて表せ．
(3)図形$F$，座標平面$x=0$，$y=0$，$z=0$によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体を$V$とする．$V$の平面$x=t$による切り口の面積$S(t)$を，$t$を用いて表せ．
(4)$V$の体積を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第2問点$\mathrm{F}(0,\ 1)$を通り，直線$y=-1$に接する円の中心が描く軌跡を曲線$C$とする．このとき，曲線$C$を表す方程式は
\[ y=\frac{1}{[ウ]}x^2 \]
となる．また，曲線$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる．線分$\mathrm{FP}$の長さが$4$となるとき，曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積は$[エ] \sqrt{[オ]}$となる．
\[ y=\frac{1}{[ウ]}x^2 \]
となる．また，曲線$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる．線分$\mathrm{FP}$の長さが$4$となるとき，曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積は$[エ] \sqrt{[オ]}$となる．
私立 同志社大学 2016年 第3問$a$を正の実数とし，数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が漸化式
\[ a_1=a,\quad \log_2 a_{n+1}=-|\log_2 a_n|+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 1$のとき，$\log_2 y=-|\log_2 x|+2$を満たす$y$を$x$を用いて表せ．
(2)座標平面上で，方程式$\log_2 y=-|\log_2 x|+2 (x>0)$の表す図形を描け．
(3)$x>0$において，方程式$\log_2 x=-|\log_2 x|+2$を満たす$x$の値を求めよ．
(4)$n$を正の整数とし，$1<a<2$とする．数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
(5)$n$を正の整数とする．$2^{2015}<a<2^{2016}$のとき，数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
\[ a_1=a,\quad \log_2 a_{n+1}=-|\log_2 a_n|+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 1$のとき，$\log_2 y=-|\log_2 x|+2$を満たす$y$を$x$を用いて表せ．
(2)座標平面上で，方程式$\log_2 y=-|\log_2 x|+2 (x>0)$の表す図形を描け．
(3)$x>0$において，方程式$\log_2 x=-|\log_2 x|+2$を満たす$x$の値を求めよ．
(4)$n$を正の整数とし，$1<a<2$とする．数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
(5)$n$を正の整数とする．$2^{2015}<a<2^{2016}$のとき，数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
私立 立教大学 2016年 第3問放物線$C:y=x^2$と直線$\ell:y=kx+k (k>0)$に対し，放物線$C$と直線$\ell$の$2$個の交点を$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) (a<b)$とする．さらに，点$\mathrm{A}$における放物線$C$の接線を$m_1$，点$\mathrm{B}$における放物線$C$の接線を$m_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$m_1$の方程式を$a$を用いて表せ．また，直線$m_2$の方程式を$b$を用いて表せ．
(2)$a$と$b$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)$2$つの直線$m_1$と$m_2$の交点を$\mathrm{D}(p,\ q)$とするとき，$p$と$q$のそれぞれを$k$を用いて表せ．
(4)放物線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$T$を$k$を用いて表せ．
(5)$2$点$\mathrm{E}(a,\ q)$，$\mathrm{F}(b,\ q)$をとる．三角形$\mathrm{AED}$と三角形$\mathrm{BFD}$の面積の和$S$を$k$を用いて表せ．また$\displaystyle \frac{S}{T}$を求めよ．
(1)直線$m_1$の方程式を$a$を用いて表せ．また，直線$m_2$の方程式を$b$を用いて表せ．
(2)$a$と$b$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(3)$2$つの直線$m_1$と$m_2$の交点を$\mathrm{D}(p,\ q)$とするとき，$p$と$q$のそれぞれを$k$を用いて表せ．
(4)放物線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$T$を$k$を用いて表せ．
(5)$2$点$\mathrm{E}(a,\ q)$，$\mathrm{F}(b,\ q)$をとる．三角形$\mathrm{AED}$と三角形$\mathrm{BFD}$の面積の和$S$を$k$を用いて表せ．また$\displaystyle \frac{S}{T}$を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問$a$を正の実数，$b,\ c$を実数とする．$f(x)=ax^2+bx+c$とし，$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である．
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき，その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である．このとき，直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し，その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である．
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である．この条件が成り立つとき，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち，さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは，
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである．このとき，円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち，放物線$y=f(x)$，直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である．
(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=f^\prime(x)$が接するための必要十分条件は
\[ b^2=[ウ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{A}) \]
である．
(2)条件$(\mathrm{A})$が成り立つとき，その接点の座標は
\[ \left( [$4$]-\frac{b}{[$5$]a},\ [$6$]a \right) \]
である．このとき，直線$y=f^\prime(x)$は放物線$y=-f(x)$とも接し，その接点$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$7$][$8$]-\frac{b}{[$9$]a},\ [$10$][$11$]a \right) \]
である．
(3)直線$y=f^\prime(x)$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円$\mathrm{O}$と接するための必要十分条件は
\[ b^2=[エ] \qquad \cdots\cdots(\mathrm{B}) \]
である．この条件が成り立つとき，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
(4)条件$(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B})$が成り立ち，さらに点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}$と一致するのは，
\[ a=\frac{[$12$]}{[$13$]},\quad b=[$14$][$15$],\quad c=\frac{[$16$]}{[$17$]} \]
のときである．このとき，円$\mathrm{O}$は放物線$y=f(x)$とただ$1$つの共有点$([$18$],\ [$19$])$をもち，放物線$y=f(x)$，直線$y=f^\prime(x)$および円$\mathrm{O}$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[$20$]}{[$21$]}-\frac{[$22$]}{[$23$]} \pi \]
である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第3問球面$S:x^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0$は点$\mathrm{A}([$24$],\ [$25$],\ [$26$])$で$xy$平面と接し，球面$S$と$zx$平面との交わりは中心$\mathrm{B}([$27$],\ [$28$],\ [$29$][$30$])$，半径$\sqrt{[$31$]}$の円である．
球面$S$の中心を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり，$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$（ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$）である．また，三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は，長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である．
球面$S$の中心を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり，$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$（ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$）である．また，三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は，長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第5問$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$4$つの正三角形を側面とする正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある．$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OC}$を$4:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$，正の実数$r$に対して$\mathrm{OB}$を$1:r$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を計算せよ．答が$r$の有理式になる場合は，$1$つの既約分数式で解答せよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行になる$r$を求めよ．
(3)$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行なとき，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面$\alpha$で正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$を$2$つの多面体に切り分ける．このとき，$\alpha$による切り口の図形の面積，および，切り分けたうち頂点$\mathrm{O}$を含む多面体の体積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を計算せよ．答が$r$の有理式になる場合は，$1$つの既約分数式で解答せよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行になる$r$を求めよ．
(3)$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行なとき，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面$\alpha$で正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$を$2$つの多面体に切り分ける．このとき，$\alpha$による切り口の図形の面積，および，切り分けたうち頂点$\mathrm{O}$を含む多面体の体積を求めよ．