「図形」について
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国立 東京海洋大学 2010年 第4問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で曲線$C:y=x |x-k|$（ただし$k$は正の定数）と直線$\ell:y=mx$が原点以外に$2$点$\mathrm{P}(\alpha,\ m \alpha)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ m \beta)$で交わっている．ただし$0<\alpha<\beta$とする．
(1)$m$の範囲を$k$で表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積の和$S$を$m$と$k$で表せ．
(3)$S$が最小となるときの$m$を$k$で表せ．
(4)$(3)$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}=\sqrt{2}$であることを示せ．
(1)$m$の範囲を$k$で表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積の和$S$を$m$と$k$で表せ．
(3)$S$が最小となるときの$m$を$k$で表せ．
(4)$(3)$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}=\sqrt{2}$であることを示せ．
国立 東京海洋大学 2010年 第5問次の問いに答えよ．
(1)$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第4問$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$において，直線$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$，曲線$\displaystyle y=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2$および$x$軸で囲まれる図形を$D$とする．ただし，$D$は境界をすべて含む．このとき，次の各問に答えよ．
(1)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell:y=ax+b (a>0)$と図形$D$が共有点をもつとき，$a,\ b$のみたす不等式を求めよ．また，それらの不等式が表す領域を$a$-$b$平面上に図示せよ．
(3)図形$D$の面積$S$が，直線$y=4x+b$によって$2$等分されるような定数$b$の値を求めよ．
(1)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell:y=ax+b (a>0)$と図形$D$が共有点をもつとき，$a,\ b$のみたす不等式を求めよ．また，それらの不等式が表す領域を$a$-$b$平面上に図示せよ．
(3)図形$D$の面積$S$が，直線$y=4x+b$によって$2$等分されるような定数$b$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第1問$2$つの整式
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& x^3+3x^2+mx+3 \\
g(x) &=& x^3+mx^2+(m+3)x+4
\end{eqnarray*}
を考える．ただし，$m$は整数の定数とする．$2$つの方程式$f(x)=0$，$g(x)=0$が共通の整数の解$n$をもつとき，次の問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．
(2)関数$y=g(x)$の極値およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
\begin{eqnarray*}
f(x) &=& x^3+3x^2+mx+3 \\
g(x) &=& x^3+mx^2+(m+3)x+4
\end{eqnarray*}
を考える．ただし，$m$は整数の定数とする．$2$つの方程式$f(x)=0$，$g(x)=0$が共通の整数の解$n$をもつとき，次の問に答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．
(2)関数$y=g(x)$の極値およびそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
私立 関西大学 2010年 第2問$p$を$0 \leqq p<1$を満たす定数とし，$x$の関数$f(x)$を次のように定める．
\[ f(x)=|x+1|+|x-1|+|x-p| \]
以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle p=\frac{1}{2}$として，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$x$軸，$x=-1,\ x=1$と$y=f(x)$とで囲まれてできる図形の面積を$S$とする．$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$S$を最小にする$p$の値と，そのときの$S$の値を求めよ．
\[ f(x)=|x+1|+|x-1|+|x-p| \]
以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle p=\frac{1}{2}$として，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$x$軸，$x=-1,\ x=1$と$y=f(x)$とで囲まれてできる図形の面積を$S$とする．$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$S$を最小にする$p$の値と，そのときの$S$の値を求めよ．
私立 金沢工業大学 2010年 第5問放物線$y=x^2-5x$に直線$y=x+a$が接しているとする．ただし，$a$は定数とする．
(1)$a=[アイ]$であり，接点の座標は$([ウ],\ [エオ])$である．
(2)この放物線と直線，および$y$軸で囲まれた図形の面積は$[カ]$である．
(1)$a=[アイ]$であり，接点の座標は$([ウ],\ [エオ])$である．
(2)この放物線と直線，および$y$軸で囲まれた図形の面積は$[カ]$である．
私立 倉敷芸術科学大学 2010年 第6問$2$つの関数$y = x^2,\ y = x^3-x$のグラフについて，次の設問に答えよ．
(1)交点の座標をすべて求めよ．
(2)$2$つの関数のグラフで囲まれた$2$つの図形の面積の和を求めよ．
(1)交点の座標をすべて求めよ．
(2)$2$つの関数のグラフで囲まれた$2$つの図形の面積の和を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第5問$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は$\displaystyle x=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3}$と$\displaystyle x=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$で極値をとるものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第3問$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は$\displaystyle x=\frac{6-2 \sqrt{3}}{3}$と$\displaystyle x=\frac{6+2 \sqrt{3}}{3}$で極値をとるものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 北海学園大学 2010年 第5問曲線$y=2e^{x-1}$と曲線$C:y=2 \log ax$は点$(b,\ c)$のみで接し，接線を共有する．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とし，$b \geqq 1$とする．また，$e$は自然対数の底とする．
(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を$a$の式で表せ．
(2)$t \geqq 1$のとき，$\displaystyle f(t)=e^{t-1}-\frac{1}{t}$の最小値を求めよ．さらに，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)曲線$C$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を$a$の式で表せ．
(2)$t \geqq 1$のとき，$\displaystyle f(t)=e^{t-1}-\frac{1}{t}$の最小値を求めよ．さらに，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(3)曲線$C$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．