$c$を定数とし，関数$f(x),\ g(x)$を$f(x)=-x+c,\ g(x)=-x^2+2x+3$と定める．また，直線$y=f(x)$は放物線$y=g(x)$の接線であるとする．

(1)$c$の値を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$，放物線$y=g(x)$，および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(t)=\sin^2 t+2x \cos t$の$t$に関する最大値$M(x)$を$x$の関数とする．

(1)$-1<x<1$のとき，$M(x)$を$x$を用いて表し，曲線$y=M(x)$の概形を描きなさい．
(2)曲線$y=G(x)=3x^2$と$y=M(x)$で囲まれる図形の面積を求めなさい．
(3)直線$y=x-2$上の点$\mathrm{Q}$から，曲線$y=G(x)$に引いた$2$本の接線$L_1,\ L_2$の接点の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(4)$2$本の接線$L_1,\ L_2$と曲線$y=G(x)$で囲まれる図形の面積の最小値を求めなさい．

放物線$C_1:y=x^2,\ C_2:y=x^2-4x+4$がある．$0<a<2$のとき，$C_1$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．$C_1$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_1$，$C_2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形のうち$\ell$より上側の部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．
(2)$1<a<2$のとき，$C_1$と$\ell$で囲まれた図形のうち$C_2$より上側の部分の面積を$S_3$とする．$S_3=2S_2$となる$a$の値を求めよ．

中心が$(0,\ 0,\ 1)$，半径が1の球面が，$yz$平面に平行で点$(a,\ 0,\ 0) \ (0<a<1)$を通る平面と交わってできる図形を$C$とする．これに対して，次の問に答えよ．

(1)$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ y_1,\ z_1)$と点$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ 2)$を通る直線$\mathrm{PQ}$が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{R}(x,\ y,\ 0)$とする．$y_1$と$z_1$のそれぞれを$a,\ x,\ y$を使って表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．

太郎君は関数$f(x)$を$x$について微分して導関数$f^\prime(x)=6x+6$を得た．次の(1)，(2)に答えよ．

(1)次の(a)，(b)のそれぞれの場合において，元の関数$f(x)$を求めよ．

\mon[(a)] $y=f(x)$が表す曲線と直線$y=2$が接する場合．
\mon[(b)] $y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{9}$になる場合．

(2)太郎君の話を聞いた花子さんは，次の$①$から$⑤$の付加条件を1つだけ加えて元の関数$f(x)$を求めることにした．
\begin{screen}
{\bf 付加条件}

\mon[$①$] $f(0)=3$
\mon[$②$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(2)-F(1)=7$
\mon[$③$] $F(x)$を$f(x)$の不定積分の1つとしたとき，$F(0)=0$
\mon[$④$] $f^\prime(0)=f(1)$
\mon[$⑤$] $f^\prime(-1)=0$

\end{screen}
元の関数$f(x)$を求めることが{\bf できない}付加条件を$①$から$⑤$の中から選んで，その番号を全てかけ．

$a$を正の実数とする．また，対数は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．以下の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log (ax) \, dx$を求めよ．
(2)$0<x<e$の範囲で曲線$y=\log (ax)$と直線$y=1$とが交わるように，$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．座標平面において，曲線$y=\log (ax)$と2直線$y=0,\ x=e$とで囲まれた図形のうち，$y \leqq 1$の部分の面積を$S_1$，$y \geqq 1$の部分の面積を$S_2$とする．$S=S_1-S_2$を$a$を用いて表せ．
(4)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)次の定積分の値を計算せよ．
\[ \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x^2} \, dx \]
(2)$0<x<\pi$とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sin x}$の極値を調べグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sin x}$が表す曲線と3直線$\displaystyle y=\frac{1}{2},\ x=\frac{\pi}{3},\ x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\cos x+\frac{1}{2}\sin 2x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．

(1)関数$f(x)$の最大値と最小値，および，それらを与える$x$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点は$4$個あることを示せ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=\cos x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$のなす角$\theta$を求めよ．
(2)放物線$y=-x^2+4x+8$と$x$軸とで囲まれた図形に内接し，$x$軸上に$2$つの頂点をもつ長方形の面積の最大値を求めよ．
(3)整数$5^{2010}$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(4)関数$y=\sin x-\cos x+\sqrt{2} \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．

曲線$C:y=x^3-x^2$と放物線$D:y=3x^2+px+q$が共有点$(a,\ a^3-a^2)$で共通の接線を持つとする．

(1)$C$と$D$のすべての共有点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$D$は$x$軸と共有点を持つことを示せ．また，$D$と$x$軸が接するような$a$の値を求めよ．
(3)$0<a<1$のとき，$x$軸と$D$で囲まれた図形のうち$x \leqq a$の部分の面積を求めよ．