以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について，$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある．曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする．曲線$C$と直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする．複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．

(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．

$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする．複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．

(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．

$t$を$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数とし，関数$\displaystyle f(x)=|\cos x-t| \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする．曲線$C$と$x$軸との共有点の$x$座標を$\alpha$とする．また，$C$と$x$軸，$y$軸および直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形を$D$とし，$D$の面積を$S$とする．以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のとき，$D$を図示せよ．
(2)$S$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$S$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ．
(4)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$V$の最小値とそれを与える$t$の値を求めよ．

関数$f(x)=xe^x$で定まる曲線$C:y=f(x)$を考える．$p$を正の数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする．$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ．さらに，区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ，不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする．その面積$S(p)$を求めよ．
(4)$2$辺が$x$軸，$y$軸に平行な長方形$R$を考える．$R$が図形$F$を囲んでいるとき，$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ．さらに，$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ．

区間$-1 \leqq x \leqq 1$において，$2$つの関数$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$，$g(x)=x-\sqrt{1-x^2}$を考える．曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=g(x)$で囲まれた図形を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$C_1$は曲線$C_2$と原点に関して対称であることを示せ．
(3)区間$-1 \leqq x \leqq 1$において，$f(x)$と$-g(x)$の値の大小関係を調べよ．また，$g(x) \geqq 0$が成り立つような$x$の範囲を求めよ．
(4)図形$D$の$x \geqq 0$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

曲線$y=-x^3+3x^2+x-3$を$C$とし，曲線$C$上の点$(3,\ 0)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．

曲線$y=-x^3+3x^2+x-3$を$C$とし，曲線$C$上の点$(3,\ 0)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$p$を実数とし，点$(p,\ q_1)$は接線$\ell$上にあり，点$(p,\ q_2)$は曲線$C$上にあるとする．$p<3$の範囲を$p$が動くとき，$q_1-q_2$の最大値を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形は，$y$軸によって$2$つの部分に分けられるが，それらの面積のうち小さい方を$S$，大きい方を$T$とするとき，$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ．

関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} \quad (x>0) \]
に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．さらに，$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値$x_0$を求めよ．
(2)曲線$C$，$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(4)曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$を考える．$t>x_0$のとき，接線$\ell$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．原点を$\mathrm{O}$として，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$g(t)$を$t$の式で表せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{g(t)}{\sqrt{t} \log t}$を求めよ．

関数$f(x)=e^x+e^{-x}$があり，$g(x)=f^\prime(x)$，$h(x)=xf(x)$とおく．$a$を実数として，点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の法線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}(a,\ g(a))$における曲線$y=g(x)$の法線を$m$とする．$\ell$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{R}$の座標を，$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$，$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．