曲線$y=-x^2+3x$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$y=-x^2+3x$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(2)$a$を$0<a<3$をみたす定数とする．このとき，直線$y=ax$と曲線$y=-x^2+3x$との交点の$x$座標を求めよ．
(3)(1)の図形の面積を二等分する原点を通る直線を求めよ．

公正に作られた$n$枚のコインを同時に投げるとき，表が出た枚数を$k$で表す．この$n,\ k$を用いて，放物線$C$と直線$\ell$を
\begin{eqnarray}
& & C:y=(x-k)^2+n-k, \nonumber \\
& & \ell:y=x+n-k \nonumber
\end{eqnarray}
で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell$が異なる2つの交点をもつ確率を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$k$を用いて表せ．
(3)$n=3$のとき，$\displaystyle (6S)^{\frac{2}{3}}$の期待値を求めよ．

放物線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x^2$を$C_1$とし，円$x^2+y^2=1$の$y \geqq 0$を満たす部分を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の交点をP，Qとし，原点をOとする．

(1)P，Qの座標を求めよ．
(2)扇形OPQの面積を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$f(x)=x^2-2|x|-1$とする．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=3x+5$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=3x+5$で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)双曲線$C:x^2-y^2=-1$上の点$(1,\ \sqrt{2})$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

$a>0$とし，
\[ f(x)=a^2(x+1)e^{-ax} \]
とおく．

(1)関数$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$c$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=c$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$0<a<1$における$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．ただし，$e>2$であることを証明なしに用いてよい．

曲線$\displaystyle C_1:y=\sin 2x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形が，曲線$\displaystyle C_2:y= k\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ k \text{は正の定数} \right)$によって2つの部分に分割されているとする．そのうちの，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:y=\sin 2x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸で囲まれた図形が，曲線$\displaystyle C_2:y= k\cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2},\ k \text{は正の定数} \right)$によって2つの部分に分割されているとする．そのうちの，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$と$C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)2曲線$C_1,\ C_2$の，点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$k$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S_1$を$\alpha$を用いて表せ．
(3)$S_1=2S_2$のとき，$k$の値を求めよ．

$a$を正の実数とし，$f(x)=x^3-3a^2x$とおく．曲線$C:y=f(x)$の原点Oにおける接線を$\ell_1$，原点以外の任意の点P$(p,\ f(p))$における接線を$\ell_2$とし，2つの直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点をQとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)2直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)点Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$OPQは曲線$C$によって2つの部分に分けられる．このうち，曲線$C$と線分OPで囲まれた図形の面積を$S$，曲線$C$と2直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$は一定であることを示せ．

次の問に答えよ．

(1)関数$y=|x^2-1|$のグラフの概形をかけ．
(2)$a>1$とする．曲線$y=|x^2-1|$と$x$軸，$y$軸および直線$x=a$とで囲まれた図形において，$0 \leqq x \leqq 1$の部分を$S_1$とし，$1 \leqq x \leqq a$の部分を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とする．$V_1,\ V_2$を求めよ．
(3)$V_1=V_2$となるとき，$a$の値を求めよ．