半径$R$の円$C$の中心を通る直線を$\ell$とする．円$C$上の2点A，Bは弦ABが$\ell$と交わらないように動くものとする．$\ell$を軸として弦ABを回転させてできる図形の面積を$S$とする．ただし，直線$\ell$は円$C$と同一平面上にあるものとする．

(1)弦ABの長さを一定とするならば，弦ABが$\ell$と平行のとき$S$が最大となることを証明せよ．
(2)弦ABの長さが変化するとき，$S$の最大値を求めよ．

関数$f(x) = (x^2-x)e^{-x}$について，以下の問いに答えよ．必要ならば，任意の自然数$n$に対して
\[ \lim_{x \to +\infty} x^ne^{-x} = 0 \]
が成り立つことを用いてよい．

(1)$y = f(x)$のグラフの変曲点を求め，グラフの概形をかけ．
(2)$a > 0$とする．点$(0,\ a)$を通る$y = f(x)$のグラフの接線が1本だけ存在するような$a$の値を求めよ．また，$a$がその値をとるとき，$y = f(x)$のグラフ，その接線および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

3つの曲線
\begin{eqnarray}
& & C_1 : y = \sin x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber \\
& & C_2 : y = \cos x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber \\
& & C_3 : y = \tan x \quad \left( 0 \leqq x < \frac{\pi}{2} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
について以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の交点，$C_2$と$C_3$の交点，$C_3$と$C_1$の交点のそれぞれについて$y$座標を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2,\ C_3$によって囲まれる図形の面積を求めよ．

$0 < p < 4$とし，放物線$\displaystyle y =\frac{1}{4}x^2$上の点$\displaystyle \left(p,\ \frac{1}{4}p^2 \right)$を中心にして，半径が$\displaystyle \frac{1}{4}p^2$の円$C$をかく．次に，$m > 0$とし，直線$y = mx$が円$C$に接しているとする．

(1)$m$を$p$の式で表せ．
(2)放物線$\displaystyle y =\frac{1}{4}x^2$と直線$y = mx$によって囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$m$と$p$の値を求めよ．

方程式$y = (\sqrt{x}-\sqrt{2})^2$が定める曲線を$C$とする．

(1)曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=2$で囲まれた図形を，直線$y=2$のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線
\[ C:\quad y=\frac{1}{2}x+\sqrt{\frac{1}{4}x^2+2} \]
と，その上の相異なる$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を考える．

(1)$\mathrm{P}_i \ (i=1,\ 2)$を通る$x$軸に平行な直線と，直線$y=x$との交点を，それぞれ$\mathrm{H}_i \ (i=1,\ 2)$とする．このとき$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{H}_1$と$\triangle \mathrm{OP}_2 \mathrm{H}_2$の面積は等しいこと示せ．
(2)$x_1<x_2$とする．このとき$C$の$x_1\leqq x\leqq x_2$の範囲にある部分と，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{O}$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{O}$で囲まれる図形の面積を，$y_1$，$y_2$を用いて表せ．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で関数$f(x)=\cos x \sin^2 x$と$g(x)=\cos^3 x$を考える．次の問に答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．ただし，$f(x)$が極値をとるときの$x$の値は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフで囲まれる図形の面積を求めよ．

次の2つの曲線の両方に接する傾きが正の直線$\ell$が原点を通っているとする．
\begin{eqnarray}
& & y = mx^2+a \quad (m > 0,\ a > 0) \nonumber \\
& & y = nx^2+b \quad (n < 0,\ b < 0) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．

(1)$m,\ n,\ a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)曲線$y = mx^2+a$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，曲線$y = nx^2+b$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を$a,\ b$で表せ．

$a \ (a>0)$を定数とし，$f(x)=2a \log x - (\log x)^2$とする．関数$y = f(x)$のグラフは，$x$軸と点P$_1(x_1,\ 0)$，P$_2(x_2,\ 0) \ (x_1<x_2)$で交わっている．次の問いに答えよ．

(1)$x_1,\ x_2$の値を求めよ．また，$y = f(x)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(2)点P$_1$，P$_2$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$X(a)$と表すとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty} X(a)$を求めよ．
(3)$a = 1$とするとき，$y = f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$2$曲線$y=x^2,\ y=2\sqrt{2x}$で囲まれた図形$D$について，次の問いに答えよ．

(1)図形$D$の面積を求めよ．
(2)図形$D$は直線$y=2$によって二つの図形に分けられる．このとき，それぞれの図形の面積$S_1,\ S_2$を求めよ．ただし，$S_1>S_2$とする．
(3)図形$D$の面積が直線$x=a$によって二等分されるとき，$a^3$の値を求めよ．