方程式$x^2+y^2-2x+6y-6=0$で表される図形を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)図形$C$を図示せよ．
(2)直線$2x+3y=k$が，図形$C$を2等分するような定数$k$の値を求めよ．
(3)図形$C$と直線$2x+3y=k$が異なる共有点を2個もつような定数$k$の値の範囲を求めよ．
(4)図形$C$に接し，傾きが$\displaystyle -\frac{2}{3}$である直線の方程式を求めよ．

$-1 \leqq a \leqq 1$として，次の問に答えよ．

(1)直線$y=a$と半円$x^2+y^2=1 \ (x \geqq 0)$が，ただ1つの点を共有することを示せ．
(2)方程式$\sin x=a$は閉区間$\displaystyle \left[ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2} \right]$の範囲でただ1つの実数解をもつことを示せ．
(3)$-1 \leqq x \leqq 1$とする．次の条件
\[ x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2} \leqq y \leqq \frac{\pi}{2} \]
をみたす$y$を$g(x)$とおく．曲線$y=g(x) \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の概形をかけ．
(4)曲線$y=g(x)$と2直線$\displaystyle x=\frac{1}{2},\ y=0$で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$g(x)$は(3)で定義されたものとする．

$f(x)=1-x^2$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$は$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$の範囲で動くものとする．原点と点$\mathrm{P}$の$2$点を通る直線を$\ell$，点$\mathrm{P}$における$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$2$直線$\ell$と$m$の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$において，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_1(a)$とし，$y$軸と曲線$y=f(x)$および直線$m$で囲まれた図形の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1(a)=2S_2(a)$を満たす$a$の値を求めよ．
(4)$S_1(a)-S_2(a)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=4x+\frac{22}{3}$がある．また関数$g(x)$は等式
\[ g(x)=x(x+2)+\int_{-1}^1 g(t) \, dt \]
を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$g(x)$を求めよ．
(2)直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=g(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}$，直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点のうち$x$座標の値が小さい方を$\mathrm{B}$，直線$y=f(x)$と$y$軸の交点を$\mathrm{C}$とする．また点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BC}$上にとり，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と曲線$y=g(x)$の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，線分$\mathrm{PQ}$，線分$\mathrm{PA}$，および曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が最大となる点$\mathrm{P}$の座標と，そのときの面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において次の不等式を解け．
\[ \sin x+\cos 2x \geqq 0 \]
(2)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，曲線$y=\sin x$と曲線$y=-\cos 2x$および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}$が囲む図形の面積$S$を求めよ．
(3)上の図形の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

実数$p>0$と関数$f(x)=x^3-x$がある．$2$曲線$C_1:y=f(x)$，$C_2:y=f(x+p)-p$について，次に答えよ．

(1)曲線$C_1$と$C_2$が共有点を$2$個もつときの$p$の範囲を求めよ．
(2)実数$\alpha,\ \beta$に対して
\[ \int_{\alpha}^{\beta}(\beta-x)(x-\alpha) \, dx=\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3 \]
を示せ．
(3)$p$が(1)で求めた範囲を動くとき，曲線$C_1,\ C_2$によって囲まれた図形の面積$S(p)$の最大値を求めよ．

曲線$C_1:y=\sqrt{x} |\log x|$と曲線$C_2:y=\sqrt{x}$がある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．

(1)関数$f(x)=\sqrt{x} \log x$の増減，極値を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}\sqrt{x} \log x=0$であることを用いてよい．
(2)曲線$C_1,\ C_2$は$x>0$において$2$つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点の$x$座標を$a,\ b \ (a<b)$とする．曲線$C_1,\ C_2$の$a \leqq x \leqq b$の部分が囲む図形の面積$S$を求めよ．

$n$を$2$以上の自然数とし，$x$の関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=x^n \log 2x,\quad g(x)=\log 2x \]
とする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を実数とし，$x$の$4$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=x^4+2ax^3+6bx^2+4cx+d \]
とする．また，曲線$y=f(x)$を$C$とする．さらに，$\displaystyle \alpha=1+\sqrt{\frac{5}{6}},\ \beta=1-\sqrt{\frac{5}{6}}$とおくとき，$f(x)$と$C$は次の$3$つの条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たすものとする．

(i) 点$(\alpha,\ f(\alpha))$と点$(\beta,\ f(\beta))$は共に$C$の変曲点である．
(ii) $f(x)$は$x=1$で極値をもつ．
(iii) $f(2)=0$

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$C$を$x$軸方向に$-1$だけ平行移動した曲線を$y=g(x)$とおく．$g(x)$を求めよ．
(3)$x$軸と$C$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)方程式$\displaystyle \log_5x-\frac{4}{\log_5x}+\frac{\log_5 x^3}{\log_5 x}=0$を解け．
(3)$a>0$とする．関数$f(t)=t(a-t^2) \ (0<t<\sqrt{a})$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(4)正四面体の各面に$0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字が$1$つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを$2$つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．
(5)$2$つの曲線$y=x^2$，$y=-x^2+2x+1$で囲まれる図形の面積を求めよ．