放物線$C_1:y=x^2$と定点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$a^2<b$）を通る放物線$C_2:y=-3x^2+2px+q$の交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\text{ただし，} \ \alpha < \beta)$とする．$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$S$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$p$とその最小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．(2)のとき，線分$\mathrm{PM}$の長さを$a,\ b$を用いて表せ．
(4)(2)のとき，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ．

曲線$C:y=e^{-x}|\sin x| \ (x \geqq 0)$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle I=\int e^{-x} \sin x \, dx,\ J=\int e^{-x} \cos x \, dx$とおく．$I,\ J$をそれぞれ部分積分して，$I$を求めよ．
(2)$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n}$を求めよ．
(3)$(2n+1) \pi \leqq x \leqq 2(n+1)\pi \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$の範囲で，曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S_{2n+1}$を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty S_k$を求めよ．

$t$を実数として2次正方行列$A_t=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -t \\
t & 1
\end{array} \biggr)$を考える．

(1)すべての実数$t$に対し$A_t$が逆行列を持つことを示し，その逆行列$A_t^{-1}$を求めよ．
(2)各実数$t$に対し座標平面上の点$(x_t,\ y_t)$を条件$\biggl( \begin{array}{c}
x_t \\
y_t
\end{array} \biggr)=A_t^{-1}\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \biggr)$によって定める．$t$がすべての実数を動くとき$(x_t,\ y_t)$が描く図形を求めて図示せよ．

関数$\displaystyle f(x)=\int_0^1 \bigl|t-|\,x\,| \bigr| \, dt$について以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)定数$k$に対し$f(x)=kx$を満たす$x$の個数を調べよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと直線$\displaystyle y=-x+\frac{7}{2}$と$y$軸の3つで囲まれた図形の面積を求めよ．

$t$を実数として2次正方行列$A_t=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -t \\
t & 1
\end{array} \biggr)$を考える．

(1)すべての実数$t$に対し$A_t$が逆行列を持つことを示し，その逆行列$A_t^{-1}$を求めよ．
(2)各実数$t$に対し座標平面上の点$(x_t,\ y_t)$を条件$\biggl( \begin{array}{c}
x_t \\
y_t
\end{array} \biggr)=A_t^{-1}\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \biggr)$によって定める．$t$がすべての実数を動くとき$(x_t,\ y_t)$が描く図形を求めて図示せよ．

関数$\displaystyle f(x)=\int_0^1 \bigl|t-|\,x\,| \bigr| \, dt$について以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)定数$k$に対し$f(x)=kx$を満たす$x$の個数を調べよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと直線$\displaystyle y=-x+\frac{7}{2}$と$y$軸の3つで囲まれた図形の面積を求めよ．

$r$を正の定数とする．2つの曲線
\[ C_1:y=\frac{2x^2}{x^2+1},\quad C_2:y=\sqrt{r^2-x^2} \]
が共有点で互いに直交する接線を持つとする．

(1)共有点の座標と$r$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

座標空間内で点Q$(a,\ b,\ c)$を中心とする半径$r$の球を$B$とし，$B$は各座標平面と交わる位置にあるとする．$B$が$xy$平面によって切り取られる立体のうち，Qを含む方を$B_1$，切断面を$D_1$とする．また$B$が$xz$平面によって切り取られる図形のうち，Qを含む方を$B_2$，切断面を$D_2$とする．$D_1$の面積が$8\pi$，$D_2$の面積が$12\pi$，$D_1$と$D_2$が交わってできる線分の長さが4のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$D_1,\ D_2$のそれぞれの中心と半径を$a,\ b,\ c,\ r$を用いて表せ．
(2)$b,\ c,\ r$の値を求めよ．
(3)$B_1$と$B_2$の共通部分が$yz$平面によって切り取られた切断面を$D_3$とする．$a$を動かしたときの$D_3$の面積の最大値とそのときの点Qの座標Q$(a,\ b,\ c)$を求めよ．

放物線$y=x^2$上の異なる$2$点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(q,\ q^2)$における接線が点$\mathrm{R}$で交わっている．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$p=-1$，$q=2$のとき，$2$本の接線と放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．

$k=1,\ 2$に対して放物線$y=x^2-kx+1$を$C_k$で表す．点A$(1,\ 1)$での$C_1$の接線に，点Aで直交している直線を$\ell$とし，$\ell$と$C_2$の交点のうち$x$座標が正となる点をBとする．次の各問に答えよ．

(1)点Bの座標を求めよ．
(2)曲線$C_1,\ C_2$と線分ABで囲まれた図形の面積を求めよ．