「図形」について
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国立 信州大学 2011年 第5問次の問いに答えよ．
(1)次の不定積分を求めよ．
\[ \int \log (1+\sqrt{x}) \, dx \]
(2)点$(1,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と，$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．ただし，回転させる図形は円の中心を含まないものとする．
(1)次の不定積分を求めよ．
\[ \int \log (1+\sqrt{x}) \, dx \]
(2)点$(1,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と，$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．ただし，回転させる図形は円の中心を含まないものとする．
国立 信州大学 2011年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)$2$次関数
\[ f(x) = -x^2+a,\quad g(x) = (x-a)^2 \]
のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，$2$つの曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフが囲む図形の面積を$a$で表しなさい．
(1)$2$次関数
\[ f(x) = -x^2+a,\quad g(x) = (x-a)^2 \]
のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，$2$つの曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフが囲む図形の面積を$a$で表しなさい．
国立 信州大学 2011年 第2問次の問いに答えなさい．
(1)$2$次関数
\[ f(x) = -x^2+a,\quad g(x) = (x-a)^2 \]
のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，$2$つの曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフが囲む図形の面積$S$を$a$で表し，$\displaystyle S \leqq \frac{1}{3}$であることを示しなさい．
(1)$2$次関数
\[ f(x) = -x^2+a,\quad g(x) = (x-a)^2 \]
のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，$2$つの曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフが囲む図形の面積$S$を$a$で表し，$\displaystyle S \leqq \frac{1}{3}$であることを示しなさい．
国立 信州大学 2011年 第2問曲線$y = ax^3$と曲線$y = 5 \log x$が接しているとする．ただし，$a$は正の定数で，対数は自然対数である．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$2$つの曲線および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$2$つの曲線および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第5問2つの曲線
\[ C_1:y=2x^2,\quad C_2:y=-\frac{1}{4}x^2 \]
と2つの直線
\[ \ell_1:y=ax+t-1,\quad \ell_2:y=bx+t \]
があり，$\ell_1$は$C_1$に接し，$\ell_2$は$C_2$に接している．ただし，$a,\ b,\ t$は定数で，$a>0,\ b>0,\ 0<t<1$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$および$b$をそれぞれ$t$で表せ．
(2)$C_1,\ \ell_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$と，$C_2,\ \ell_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_2$が等しくなるときの$t$の値を求めよ．
\[ C_1:y=2x^2,\quad C_2:y=-\frac{1}{4}x^2 \]
と2つの直線
\[ \ell_1:y=ax+t-1,\quad \ell_2:y=bx+t \]
があり，$\ell_1$は$C_1$に接し，$\ell_2$は$C_2$に接している．ただし，$a,\ b,\ t$は定数で，$a>0,\ b>0,\ 0<t<1$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$および$b$をそれぞれ$t$で表せ．
(2)$C_1,\ \ell_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$と，$C_2,\ \ell_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_2$が等しくなるときの$t$の値を求めよ．
国立 富山大学 2011年 第1問放物線$C:y=x^2-4x+3$と直線$\ell:y=mx-m$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)放物線$C$と直線$\ell$が接するときの$m$の値$m_0$を求めよ．
(2)$m>m_0$とする．放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，放物線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$をそれぞれ$m$を用いて表せ．
(3)$m>m_0$における$S_2-2S_1$の最小値，およびそのときの$m$の値を求めよ．
(1)放物線$C$と直線$\ell$が接するときの$m$の値$m_0$を求めよ．
(2)$m>m_0$とする．放物線$C$と直線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，放物線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$をそれぞれ$m$を用いて表せ．
(3)$m>m_0$における$S_2-2S_1$の最小値，およびそのときの$m$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第5問2つの曲線
\[ C_1:y=2x^2,\quad C_2:y=-\frac{1}{4}x^2 \]
と2つの直線
\[ \ell_1:y=ax+t-1,\quad \ell_2:y=bx+t \]
があり，$\ell_1$は$C_1$に接し，$\ell_2$は$C_2$に接している．ただし，$a,\ b,\ t$は定数で，$a>0,\ b>0,\ 0<t<1$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$および$b$をそれぞれ$t$で表せ．
(2)$C_1,\ \ell_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$と，$C_2,\ \ell_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_2$が等しくなるときの$t$の値を求めよ．
\[ C_1:y=2x^2,\quad C_2:y=-\frac{1}{4}x^2 \]
と2つの直線
\[ \ell_1:y=ax+t-1,\quad \ell_2:y=bx+t \]
があり，$\ell_1$は$C_1$に接し，$\ell_2$は$C_2$に接している．ただし，$a,\ b,\ t$は定数で，$a>0,\ b>0,\ 0<t<1$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$および$b$をそれぞれ$t$で表せ．
(2)$C_1,\ \ell_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$と，$C_2,\ \ell_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_2$が等しくなるときの$t$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第6問$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{\sqrt{x}}$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と2直線$x=e$，$x=e^2$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と2直線$x=e$，$x=e^2$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)関数$y=|x|\sin x$の$x=0$における微分可能性を調べよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x\sin 2x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で，曲線$C:y=|x|\sin x$を考える．$C$と直線$y=x$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．