座標平面上に点P$(0,\ 0)$，M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる．点Mを中心とし，$x$軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし，線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．

(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

実数$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{2}{3}$の範囲を変化するとき，2つの曲線
\[ C : y = -2x^2+3x,\quad C_t: y = |x^2-3tx| \]
で囲まれる図形の面積を$S(t)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)2曲線$C,\ C_t$の交点の$x$座標をすべて求めよ．
(2)$S(t)$を$t$の式で表せ．
(3)$S(t)$を最大にする$t$の値を求めよ．

実数$x,\ y$に対して，等式
\[ x^2+y^2=x+y \cdots\cdots① \]
を考える．$t = x+y$とおく．以下の問に答えよ．

(1)$\maru{1}$の等式が表す$xy$平面上の図形を図示せよ．
(2)$x$と$y$が$①$の等式をみたすとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$x$と$y$が$①$の等式をみたすとする．
\[ F = x^3+y^3-x^2y-xy^2 \]
を$t$を用いた式で表せ．また，$F$のとりうる値の最大値と最小値を求めよ．

$n$を自然数とする．曲線$y = x^2(1-x)^n \ (0 \leqq x \leqq 1)$と$x$軸とで囲まれる図形の面積を$S_n$とする．

(1)$S_n$を求めよ．
(2)$T_n = S_1 +S_2 + \cdots + S_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} T_n$を求めよ．

座標平面上に点P$(0,\ 0)$，M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる．点Mを中心とし，$x$軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし，線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．

(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．曲線$C$の接線$\ell$の傾きが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

放物線$y = x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$から直線$y=x$へ垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と直線$y=x$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，三角形$\mathrm{PRH}$の面積を$t$を用いて表せ．
(3)$x \geqq 1$の範囲において，放物線$y = x^2$と直線$y = x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4)放物線$y=x^2$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めよ．

実数$x$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^2 |t-x| \, dt \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$を求め，そのグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$の接線で傾きが1のものを$\ell$とする．$\ell$の方程式を求めよ．
(3)直線$x=-1$，接線$\ell$，曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$n$を自然数とする．$xy$平面上で行列$\left( \begin{array}{cc}
1-n & 1 \\
-n(n+1) & n+2
\end{array} \right)$の表す1次変換(移動ともいう)を$f_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)原点O$(0,\ 0)$を通る直線で，その直線上のすべての点が$f_n$により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し，この2直線の方程式を求めよ．
(2)(1)で得られた2直線と曲線$y = x^2$によって囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{S_n-\frac{1}{6}}$を求めよ．

2つの関数を$f(x)=\sqrt{x+1} \ (x \geqq -1),\ g(x)=x^2-1 \ (x \geqq 0)$とし，$y=f(x)$と$y=g(x)$で表される曲線をそれぞれ$C_1,\ C_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の逆関数が$g(x)$であることを示せ．
(2)曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点Pの座標を求めよ．
(3)2つの曲線$C_1,\ C_2$，および2直線$x=0,\ x=1$で囲まれた図形の面積が，(2)で求めた交点Pを通る直線により二等分されるとき，この直線の傾きを求めよ．

$a$を$\displaystyle 0 < \alpha <\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．円$C : x^2 + (y+ \sin \alpha)^2 = 1$および，その中心を通る直線$\ell :y= (\tan \alpha) x - \sin \alpha$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2)等式
\[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\
x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1
\end{array}
\right. \]
の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．