実数$t$を$0<t \leqq 1$とし，図$1$の斜線部分の図形$A$の面積を$S(t)$で表す．次の問に答えなさい．

(1)$S(t)$を$t$の式で表しなさい．
(2)図$2$，図$3$を参考にして，不等式
\[ (1-\sqrt{t})^2 \leqq S(1)-S(t) \leqq (1-t)^2 \]
が成り立つことを示しなさい．
(3)(2)の不等式を参考にして，不等式
\[ 2(t-\sqrt{t}) \leqq t \log t \leqq t(t-1) \]
が成り立つことを示しなさい．
（図は省略）

$2$つの放物線$y=x^2-2$，$y=-x^2+2ax+b$が異なる$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$で交わり，条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たすとき，次の問いに答えよ．

$(ⅰ) y_1-y_2=2(x_1-x_2) \qquad (ⅱ) y_1+y_2=3-x_1x_2$

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$2$つの放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．

円$x^2+(y-a)^2=r^2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ r$は正の実数とする．

(1)$a \geqq r$のとき，$V(a)$を求めよ．
(2)$0<a<r$とする．

(i) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，$\sin \theta<\theta<\tan \theta$が成り立つ．このことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{(r+a) \sqrt{r^2-a^2}}{2}<\int_0^{\sqrt{r^2-a^2}} \sqrt{r^2-x^2} \, dx<\frac{(r^2+a^2) \sqrt{r^2-a^2}}{2a} \]
(ii) $(ⅰ)$の結果を用いて，
\[ \frac{2\pi (a-r)(a+r) \sqrt{r^2-a^2}}{3}<V(a)-2\pi^2ar^2<\frac{2\pi (a-r)(a-2r) \sqrt{r^2-a^2}}{3} \]
が成り立つことを示せ．

以下の各問に答えよ．

(1)次の不等式を解け．$2 \log_{\frac{1}{4}} (4x+1) \geqq 1+\log_{\frac{1}{2}} (11-x)$
(2)以下の問に答えよ．

(i) 次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．$\displaystyle f(x)=x^2-2x+3 \int_0^1 f(t) \, dt$
(ii) $(ⅰ)$で求めた$f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -2 \right)$から引いた接線の方程式と，接点の座標を求めよ．
(iii) $(ⅰ)$，$(ⅱ)$で求めた関数$f(x)$と$2$つの接線で囲まれた図形の面積を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)$e$は自然対数の底とし，$a$は正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(i) $x>0$で定義された関数$f(x)=a \log x-x$の増減を調べ，極値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^a e^{-2x}=0$を示せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \int_0^x t^2e^{-2t} \, dt$を求めよ．

(2)$0<t<\pi$とする．曲線$\displaystyle C:y=\sin \frac{x}{2} (0 \leqq x \leqq \pi)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \sin \frac{t}{2} \right)$における$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{P}$と原点を通る直線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えよ．

(i) 接線$\ell_1$と$x$軸との交点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(ii) $j=1,\ 2$について，直線$\ell_j$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた三角形を$x$軸のまわりに回転させてできた円錐の体積を$V_j$とする．また，曲線$C$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させてできた回転体の体積を$V$とする．$V_1$，$V_2$および$V$を$t$を用いて表せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta-\sin \theta}{\theta^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1$は利用してよい．

$xy$平面上で，$y=x$のグラフと$\displaystyle y=|\displaystyle\frac{3|{4}x^2-3}-2$のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$t$を正の実数とするとき，$|x|+|y|=t$の表す$xy$平面上の図形を図示せよ．
(2)$a$を$a \geqq 0$をみたす実数とする．$x,\ y$が連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
ax+(2-a)y \geqq 2 \\
y \geqq 0
\end{array}
\right. \]
をみたすとき，$|x|+|y|$のとりうる値の最小値$m$を，$a$を用いた式で表せ．
(3)$a$が$a \geqq 0$の範囲を動くとき，(2)で求めた$m$の最大値を求めよ．

曲線$y=\sqrt{x}$上の点$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{t})$から直線$y=x$へ垂線を引き，交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{H}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$x \geqq 1$の範囲において，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$および線分$\mathrm{PH}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$t$を用いて表せ．
(3)曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を$S_2$とすると，$S_1=S_2$であるとき，$t$の値を求めよ．

$a$を正の実数，$b$と$c$を実数とし，$2$点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$，$\mathrm{Q}(1,\ 4)$を通る放物線$y=ax^2+bx+c$を$C$とおく．$C$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．

(1)$b$の値を求め，$c$を$a$で表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標を$a$で表せ．
(3)放物線$C$と接線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれる図形の面積が$1$に等しくなるような$a$の値を求めよ．

$a$を実数とする．円$C$は点$(a,\ -a)$で直線$y = -x$を接線にもち，点$(0,\ 1)$を通るものとする．$C$の中心を $\mathrm{P}(X,\ Y)$として，以下の問いに答えよ．

(1)$X,\ Y$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$が動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡と直線$y = 1$で囲まれる図形の面積を求めよ．