「図形」について
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公立 大阪市立大学 2012年 第3問$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で二つの曲線$y=\sin x$と$y= k \cos x$を考える．ただし，$k>0$とする．この二つの曲
線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta\ (0 \leqq \alpha < \beta \leqq 2\pi)$とし，$\alpha \leqq x \leqq \beta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)$k$と$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S$を$k$を用いて表せ．
(3)$S=4$のとき，$\alpha \leqq x \leqq \theta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積が2となるような$\theta$の値を求めよ．
線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta\ (0 \leqq \alpha < \beta \leqq 2\pi)$とし，$\alpha \leqq x \leqq \beta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1)$k$と$\beta$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$S$を$k$を用いて表せ．
(3)$S=4$のとき，$\alpha \leqq x \leqq \theta$の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積が2となるような$\theta$の値を求めよ．
公立 高崎経済大学 2012年 第2問$2$つの放物線$\displaystyle C_1:y=x^2,\ C_2:y=-\frac{1}{2}x^2+3x+\frac{9}{2}$がある．$C_1$と$C_2$の$2$つの交点を通る直線を$\ell_1$とする．以下の各問に答えよ．
(1)$\ell_1$の式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$と$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．この$2$つの面積の比$S_1:S_2$を求めよ．
(3)$\ell_1$と平行な直線$\ell_2$がある．$C_1$と$\ell_2$で囲まれた図形の面積$S_3$が$\displaystyle \frac{9}{2}$であるとき，$\ell_2$の式を求めよ．
(1)$\ell_1$の式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$と$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．この$2$つの面積の比$S_1:S_2$を求めよ．
(3)$\ell_1$と平行な直線$\ell_2$がある．$C_1$と$\ell_2$で囲まれた図形の面積$S_3$が$\displaystyle \frac{9}{2}$であるとき，$\ell_2$の式を求めよ．
公立 県立広島大学 2012年 第2問直線$\ell:(1+\sqrt{3})x+(1-\sqrt{3})y=4$が，曲線$C:x^2+y^2=r^2 \ (r>0,\ x \geqq 0)$に接する．次の問いに答えよ．
(1)$r$の値を求めよ．
(2)点A$(a,\ 1)$が直線$\ell$上の点であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた点Aから曲線$C$に引いた$\ell$以外の接線$m$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$と2つの接線$\ell,\ m$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$r$の値を求めよ．
(2)点A$(a,\ 1)$が直線$\ell$上の点であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた点Aから曲線$C$に引いた$\ell$以外の接線$m$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$と2つの接線$\ell,\ m$で囲まれた図形の面積を求めよ．
公立 大阪府立大学 2012年 第2問$k$と$a$を正の定数とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{x}{x+k} \ (x \geqq 0)$と直線$x=a$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を$V_1$とする．また，曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{a}{a+k}$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を$V_2$とする．このとき，比$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2012年 第5問第$1$象限において，方程式$x^2+y^2=1$で与えられる図形を$C$で表す．方程式$\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$で与えられる直線を$\ell$で表す．ただし，$a$と$b$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$b<1$のとき，図形$C$と直線$\ell$が共有点を持たないような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b>1$のとき，図形$C$と直線$\ell$が共有点を持たないのは，$a$と$b$がどのような関係をみたすときか．
(1)$b<1$のとき，図形$C$と直線$\ell$が共有点を持たないような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b>1$のとき，図形$C$と直線$\ell$が共有点を持たないのは，$a$と$b$がどのような関係をみたすときか．
公立 兵庫県立大学 2012年 第2問$k$を正の定数とする．放物線$y=kx^2$と直線$y=1$で囲まれた図形$D$を考える．この図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転した立体の体積を$V_1$，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_2$とする．$V_1=V_2$となるような$k$の値を定めよ．
公立 兵庫県立大学 2012年 第4問曲線$\displaystyle C_1:y=\frac{e}{2}x^2+\frac{e}{2}$，$C_2:y=e^x$について，次の問いに答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$がただ一つの共有点をもつことを示せ．
(2)$C_1,\ C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$C_1$と$C_2$がただ一つの共有点をもつことを示せ．
(2)$C_1,\ C_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
公立 九州歯科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$を中心とし，${150}^\circ$だけ回転すると，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$(7,\ \sqrt{3})$に移った．$x$と$y$の値を求めよ．
(2)$x \geqq 0$と自然数$n$に対して，$2$つの曲線$y=\sqrt{x}$と$y=x^n \sqrt{x}$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．一方，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$7S_1=24S_2$をみたす$n$の値を求めよ．
(3)さいころを$3$回続けて投げたとき，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数のいずれよりも大きくなる確率$P$を求めよ．また，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数の積となる確率$Q$を求めよ．
(4)$\cos \theta=\sin^2 \theta$のとき，$\alpha=(1+\cos \theta)\cos \theta$と$\beta=\sin^8 \theta+2 \sin^6 \theta+3 \sin^4 \theta+2 \sin^2 \theta$の値を求めよ．
(1)原点$\mathrm{O}$を中心とし，${150}^\circ$だけ回転すると，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が点$(7,\ \sqrt{3})$に移った．$x$と$y$の値を求めよ．
(2)$x \geqq 0$と自然数$n$に対して，$2$つの曲線$y=\sqrt{x}$と$y=x^n \sqrt{x}$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．一方，曲線$y=\sqrt{x}$と直線$y=x$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$7S_1=24S_2$をみたす$n$の値を求めよ．
(3)さいころを$3$回続けて投げたとき，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数のいずれよりも大きくなる確率$P$を求めよ．また，第$3$回目に出た目の数が第$1$回目と第$2$回目に出た目の数の積となる確率$Q$を求めよ．
(4)$\cos \theta=\sin^2 \theta$のとき，$\alpha=(1+\cos \theta)\cos \theta$と$\beta=\sin^8 \theta+2 \sin^6 \theta+3 \sin^4 \theta+2 \sin^2 \theta$の値を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2012年 第4問曲線$C:y=(\log x-2 \log 2) \log x$について次の問いに答えよ．
(1)関数の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること．また，極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること．
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)関数の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること．また，極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること．
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2012年 第4問$xy$平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{C}(\sqrt{3},\ -1)$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}$，$\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BF}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,\ 1)$が$-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$\triangle \mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．
(1)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}$，$\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BF}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,\ 1)$が$-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$\triangle \mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．