$a$を正の定数とする．座標平面上において，曲線$\displaystyle y=\frac{2}{\sqrt{x}} \cdots\cdots①$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(a,\ \frac{2}{\sqrt{a}})$における接線を$\ell$とする．

(1)接線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{[ア]}{a \sqrt{a}}x+\frac{[イ]}{\sqrt{a}}$と表される．
(2)接線$\ell$が点$(2,\ 1)$を通るとすると，$a$は条件$a \sqrt{a}=[ウ]a-[エ]$を満たす．これより$a=[オ]$，$[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}$である．
(3)$a=[オ]$のとき，接点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ケ]$であり，接線$\ell$の傾きは$[コサ]$である．このとき，曲線$①$と接線$\ell$および直線$x=2$によって囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[シ] \sqrt{[ス]}-[セソ]}{[タ]}$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+3x}+x)$の値は$[$①$]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \comb{n}{k}$を計算すると$[$②$]$となる．
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$t$を実数とする．どのような$t$の値に対しても，点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \cos t,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}},\ \frac{1+\sin t}{\sqrt{2}} \right)$は原点を中心とする半径$[$③$]$の球面上にある．また，実数$s$に対して，点$\mathrm{Q}(0,\ s,\ -s)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}=0$となるような$s$の値は$s=0$と$s=[$④$]$である．
(4)媒介変数表示
\[ x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,\quad y=3^t-3^{-t} \]
で表される図形は，$x,\ y$についての方程式$[$⑤$]=1$で定まる双曲線$C$の$x>0$の部分である．また，$C$の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は$y=[$⑥$]$である．
(5)$\theta$の関数$\displaystyle \sin \theta \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)$は，定数$a,\ b$を用いて$a \sin^3 \theta+b \sin \theta$と表すことができる．$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$[$④chi$]$である．
(6)無限級数の和として定義される関数
\[ f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\cdots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\cdots \]
について，$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$の値は$[$\maruhachi$]$である．

放物線$y=-x^2+x+2$に点$(0,\ 3)$から接線を引く．このとき，次の問に答えよ．

(1)接線の方程式を求めよ．
(2)この放物線と$(1)$で求めた$2$本の接線で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$\displaystyle \frac{(x-5)^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とする．

(1)曲線$C$の概形を描け．
(2)曲線$C$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V_1$を求めよ．
(3)曲線$C$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V_2$を求めよ．

関数$y=|x| (|x|-3)$のグラフを$C$とするとき，次の問に答えよ．

(1)点$(0,\ -b)$を通る$C$の接線の方程式をすべて求めよ．ただし，$b$は正の定数とする．
(2)$b \geqq 3$のとき，$(1)$で求めた接線と$C$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$y=xe^x$を$C_1$，曲線$y=ex^2$を$C_2$とする．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)不等式$xe^x>ex^2$が成り立つ$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

放物線$C:y=-x^2+ax$上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$を通り，傾きが$-1$の直線を$\ell$とする．ただし，$a$は定数で，$a>1$とする．

(1)$C$と$\ell$の共有点のうち，点$\mathrm{A}$とは異なる点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．また，曲線$C_1:y=-x^2+ax (0 \leqq x \leqq 1)$について，$C_1$，$\ell$および$y$軸によって囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S=S_1-S_2$とする．$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

円$C:x^2+y^2-6x-4y+8=0$と直線$\ell:y=mx-2m-1$（$m$は実数）がある．

(1)円$C$の中心$\mathrm{C}$の座標は$([ア],\ [イ])$，半径は$\sqrt{[ウ]}$である．
(2)$\ell$は$m$の値にかかわらず点$\mathrm{A}$を通る．その座標は$([エ],\ [オカ])$である．
(3)$\ell$が$C$と接するのは
\[ m=[キク] \qquad \cdots\cdots① \]
と
\[ m=\frac{[ケ]}{[コ]} \qquad \cdots\cdots② \]
のときである．
$①$のときの接点を$\mathrm{B}$，$②$のときの接点を$\mathrm{D}$とすると，四角形$\mathrm{ABCD}$から中心角が$\angle \mathrm{BCD}$の扇形を除いた図形の面積は
\[ [サ]-\frac{[シ]}{[ス]} \pi \]
となる．ただし，$0^\circ< \angle \mathrm{BCD}<180^\circ$とする．

放物線$y=x^2-4x$上に，$2$点$\mathrm{A}(1,\ -3)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$がある．以下の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$における放物線の接線の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{B}$における放物線の接線の方程式を求めよ．
(3)$(1)$，$(2)$で求めた$2$つの接線と放物線で囲まれる図形の面積を求めよ．

次は，下図で示されたような原子力発電所等でみられる冷却塔のモデルである．
\[ f(x)=\frac{x-3}{2}+\frac{2}{x-5},\quad 0 \leqq x \leqq \frac{7}{2} \]
とするとき$y=f(x)$のグラフを$x$軸のまわりに$1$回転させてできる図形を考える．
（図は省略）

(1)$f(x)$は$x=[$13$]$において最大値$[$14$]$をとり，$x=[$15$]$において最小値$[$16$]$をとる．
(2)この図形の内部の体積は$[$17$]$である．