関数$f(x)=x^4+2x^3+ax^2+b$は$x=-2$で極値をとり，$f(-1)=5$を満たす．ただし，$a$と$b$は定数とする．

(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$-3 \leqq x \leqq 1$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

放物線$C:y=-x^2+9x$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+9t)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{H}$とする．また，点$\mathrm{Q}(9,\ 0)$に対して，三角形$\mathrm{PHQ}$の面積を$S_1$とする．ただし，$0<t<9$である．

(1)$S_1$を$t$を用いて表せ．
(2)$S_1$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
(3)$t$が上の(2)で求めた値をとるとき，$C$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積$S_2$を求めよ．

曲線$C:y=\sqrt{x}$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sqrt{a})$における接線を$\ell$とする．曲線$C$，直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積が$18$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とし，$a>0$である．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$，曲線$C$，および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

$f(x)=(x-1)(x-\sqrt{3})$とする．点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{3})$における放物線$y=f(x)$の接線を$\ell$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$\mathrm{C}(1,\ 0)$とする．放物線$y=f(x)$，接線$\ell$，および線分$\mathrm{BC}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は，$x=2$で極大値$20$をとる．ただし，$a$と$b$は定数とする．

(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．また，$f(x)$の極小値を求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$1 \leqq x \leqq 5$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)$2$曲線$y=f(x)$，$y=x^3+27$，および$2$直線$x=1$，$x=5$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$2$つの曲線$C_1:y=-x^2+10$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}x^2-6x+k$がある．ただし，$k$は実数とする．$C_1$，$C_2$はそれぞれ直線$\ell$に接し，$C_1$と$\ell$の接点の$x$座標を$a$，$C_2$と$\ell$の接点の$x$座標を$b$とする．

(1)$\ell$の方程式を，$a$を用いて表せ．
(2)$k$を$a$で表せ．
(3)$b>0$であり，$C_2$と$y$軸および$\ell$で囲まれた図形の面積が$\displaystyle \frac{9}{2}$であるとき，$a$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=10$，$\mathrm{BC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{4}{5}$とし，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，$\tan A=[ア]$であり，$\triangle \mathrm{BCM}$の外接円の半径は$[イ]$である．
(2)関数$f(x)=|x-1|-|x+2|+|x-3|$が，$f(a)=0$を満たすとき，$a=[ウ]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積は$[エ]$である．
(3)$k$を正の実数とする．$3$次関数$f(x)=kx^3+3kx^2-9kx+3$の極大値は$[オ]$である．また，$f(x)=0$が正の実数解を持つような$k$の値の範囲は$[カ]$である．
(4)円$C:x^2+(y-2)^2=1$と点$\mathrm{A}(2,\ 0)$がある．この$C$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{PA}$の中点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式は$[キ]$である．また，$\mathrm{Q}$の軌跡と$C$が交わる点の$x$座標は$[ク]$である．
(5)$a>1$に対して最小値が$2$である関数$f(x)=\log_a (x^2-2x+3)$と，関数$g(x)=\log_2 (2x-1)^2$がある．このとき，$a=[ケ]$であり，$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値は$[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$3$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
2 & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 5
\end{array} \right)$，$C=\left( \begin{array}{rr}
2 & -3 \\
-4 & 5
\end{array} \right)$がある．$A$の逆行列$A^{-1}$を求めると，$A^{-1}=[ア]$である．$B^2A^3CA$を求めると，$B^2A^3CA=[イ]$である．
(2)$k>1$とする．$2$次方程式$kx^2+(1-2k)x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+4k=0$の解の$1$つは$\beta$であり，もう$1$つの解を$\gamma$とする．このとき，$\beta$を求めると$\beta=[ウ]$である．さらに，$\beta-\alpha=\gamma-\beta$が成り立つとき，$k$の値を求めると$k=[エ]$である．
(3)$y=e^x+e^{-x}$とする．$y=3$のとき，$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$の値は$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}=[オ]$である．また，$y=4$のとき，$x=[カ]$である．
(4)原点$\mathrm{O}$からの距離と点$\mathrm{A}(1,\ 1)$からの距離の比が$\sqrt{2}:1$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は方程式$[キ]$で与えられる．この図形上の点$\mathrm{Q}(s,\ t)$における接線の傾きが$2$であるとき，$\mathrm{Q}$の座標は$(s,\ t)=[ク]$である．
(5)区別できない$9$個の球を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの箱のいずれかに入れる．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$に入れた球の個数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とし，$X=1000a+100b+10c+d$とする．$X$のとりうる値を小さい順に並べたときに$31$番目にくる値を求めると$[ケ]$であり，$X$が$4$桁の数となる球の入れ方は$[コ]$通りある．

曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における接線を$\ell$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
以下では，曲線$y=ax^2-b$は点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$において$\ell$に接しているとする．ただし，$a$と$b$は正の数である．曲線$y=ax^2-b$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とする．
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$を$t$で表し，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(4)$S$の最大値を求めよ．なお，$S$がその最大値をとる$t$の値も求めること．

以下の問いに答えなさい．

(1)$2$次関数$y=x^2-1$と$1$次関数$y=x+1$，$y=-2x$の$3$つのグラフをかきなさい．
(2)次の連立不等式の表す図形の面積を$S_1$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-1 \\
y \leqq x+1 \\
y \geqq 0
\end{array} \right. \]
このとき$S_1$の値を求めなさい．
(3)次の連立不等式の表す図形の面積を$S_2$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-1 \\
x \geqq 0 \\
y \leqq -2x
\end{array} \right. \]
このとき$S_2$の値を求めなさい．