$f(x)=\sqrt{2x-x^2},\ g(x)=xf(x)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$f(x)=\sqrt{2x-x^2},\ g(x)=xf(x)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

放物線$C:y=x(x-a)$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)直線$\ell:y=ax$と，$C$との交点で，原点とは異なる点の座標を求めよ．
(2)$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(4)点$(a,\ 0)$を通り，図形$D$の面積を2等分する直線の方程式を求めよ．

$k$を実数とする．$xy$平面上の放物線$C:y=x^2+2x-2$と直線$\ell:y=kx$が異なる2点で交わるとし，交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$\alpha<\beta$である．$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$(\beta-\alpha)^2$を$k$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) \, dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$であることを示せ．
(3)$S^2$の最小値とそのときの$k$の値を求めよ．

放物線$C:y=x(x-a)$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)直線$\ell:y=ax$と，$C$との交点で，原点とは異なる点の座標を求めよ．
(2)$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた図形$D$の面積を求めよ．
(4)点$(a,\ 0)$を通り，図形$D$の面積を2等分する直線の方程式を求めよ．

放物線$C:y=x^2-x+1$について，次の問に答えよ．

(1)点$(0,\ 0)$を通り，放物線$C$に接する2つの直線の方程式を求めよ．
(2)放物線$C$と，(1)で求めた2つの接線で囲まれる図形を$D$とするとき，$C$と接線の概形をかき，$D$を図示せよ．
(3)$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

$a$は定数で，$0<a<e,\ a \neq 1$とする．$2$曲線$y=a^x,\ y=e^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

$a$は定数で，$0<a<2,\ a \neq 1$とする．2曲線$y=a^x,\ y=2^x$と直線$y=a$で囲まれた図形の面積を求めよ．