$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(-b,\ a)$，$\mathrm{C}(a^2-b^2,\ 4ab)$を考える．ただし，$a,\ b$はそれぞれ$a>0$，$b>0$，$a+b=1$を満たす任意の実数である．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$が条件を満たしながら動くとき，点$\mathrm{C}$が描く図形を図で示せ．
(2)$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とおくとき，$\theta$を最小にする$a$の値を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を最大にする$a$の値を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{A}(1,\ 0)$と曲線$C:y=x \sqrt{x}$を考える（ただし$x \geqq 0$とする）．曲線$C$上の点のうち，点$\mathrm{A}$までの距離が最小となるような点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_1$とする．また，曲線$C$と$x$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_2$とする．このとき$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$の値を求めよ．

曲線$7x^2+2 \sqrt{3}xy+9y^2=30$上の点$(x,\ y)$に対して，変換
\[ \left\{ \begin{array}{l}
X=x \cos \theta-y \sin \theta \\
Y=x \sin \theta+y \cos \theta \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を考える（ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする）．このとき$X,\ Y$のみたす式は
\[ a(\theta)X^2+b(\theta)XY+c(\theta)Y^2=30 \]
となる．ただし，$a(\theta)$，$b(\theta)$，$c(\theta)$は$\theta$のみにより決まる定数である．いま，$b(\theta)=0$をみたす$\theta$を$\theta_1$とする．

(1)$\theta_1$を求めよ．
(2)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ．

関数$f(x)=x \cos x-\sin x$を区間$I:\pi \leqq x \leqq 3\pi$で考える．

(1)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．
(2)区間$I$における関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．区間$I$において$f(x)=0$をみたす$2$点を$x=s,\ t$とする．ただし$s<t$とする．
(3)$s$と$t$は，それぞれ次の$4$つの区間

$\displaystyle \pi \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi,\quad \frac{3}{2}\pi \leqq x \leqq 2\pi,$

$\displaystyle 2\pi \leqq x \leqq \frac{5}{2}\pi,\quad \frac{5}{2}\pi \leqq x \leqq 3\pi$

のどれに入るか．
(4)$x$軸の$4\pi-t \leqq x \leqq 2\pi$の部分，直線$x=4\pi-t$，直線$x=2\pi$および$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S$とする．また，$x$軸の$2\pi \leqq x \leqq t$の部分，$x=2\pi$および$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$T$とする．このとき$S$と$T$の大小を比較せよ．

曲線$C:y=|x(x-2)|$と直線$\ell:y=kx$（$k$は定数）が原点$\mathrm{O}$以外に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．ただし，点$\mathrm{B}$の$x$座標は点$\mathrm{A}$の$x$座標よりも大きいとする．また，点$\mathrm{B}$を通り，点$\mathrm{B}$とも原点$\mathrm{O}$とも異なる点$\mathrm{E}$において曲線$C$と接する直線を$m$とする．以下の問いに答えよ．

(1)定数$k$の値の範囲を求めよ．
(2)直線$m$と$y$軸との交点を$\mathrm{F}$とする．三角形$\mathrm{FOE}$は曲線$C$によって二つの図形に分割されている．それらの二つの図形の面積の比を求めよ．
(3)$k=1$のとき，点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

座標平面上において，原点を中心とする半径$1$の円に，放物線$\displaystyle C:y=-\frac{p}{2}x^2+q (p>0,\ q>0)$が異なる$2$点で接しているとする．以下の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$の満たす関係式および$p,\ q$の取りうる範囲を求めよ．
(2)$x$軸と$C$で囲まれた図形（ただし，$y \geqq 0$）の面積$S$を$p$を用いて表せ．
(3)$(1)$の条件の下で$p$が動くとき，$S$の最小値を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について，$x=4(1-2 \sin^2 \theta)$，$y=8 \sin \theta \cos \theta$とし，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円$C$を考える．以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$\theta=0$の場合，原点$\mathrm{O}$から円$C$に$2$本の接線を引いたとき，この$2$本の接線のなす角を$\alpha$とする．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．このときの$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}$と$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を$\sin 2\theta$または$\cos 2\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$が$(3)$で求められた軌跡をたどったとき，円$C$が通過してできた図形の面積を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$E$と$O$はそれぞれ$2$次の単位行列と零行列である．答えを導く過程も示すこと．

(1)行列$A$に対して，等式$A^2-5A+5E=O$が成り立つことを示せ．
(2)行列$B$について，$B=A^4-3A^3-3A^2+2A+9E$のとき，行列$B$を求めよ．
(3)行列$A$の表す$1$次変換によって，直線$2x-y+1=0$上の点を移す．このとき，像を表す図形の方程式を求めよ．

曲線$y=\log_e (x+1)-1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$x \geqq 0$とする．関数$f(x)=-x^3+x$と関数$g(x)=x^3-x^2$がある．$xy$平面上に曲線$C_1:y=f(x)$および曲線$C_2:y=g(x)$を定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$上の点$(1,\ 0)$における曲線$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C_1$の接線と曲線$C_2$の接線が直交するとき，曲線$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$において，$f(x) \geqq g(x)$が成り立つことを示せ．
(4)原点を通り，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれる図形の面積を二等分する直線の方程式を求めよ．