放物線$y=x^2+2x+2$について，次の問いに答えよ．

(1)点$(0,\ -2)$からこの放物線に引いた$2$本の接線の傾きを求めよ．
(2)(1)で求めた$2$本の接線と放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$y=-(x-1)(x+1)^2$を$C$とし，曲線$C$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{A}$，$x$軸と交わる点のうち接点でない方を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$は曲線$C$上にあって，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の間を動く点とし，その$x$座標を$t$とおく．また，原点を$\mathrm{O}$とおく．

(1)四角形$\mathrm{OBPA}$の面積を$t$の式で表せ．
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{AP}$とで囲まれた図形の面積を$S_1$，曲線$C$と線分$\mathrm{PB}$とで囲まれた図形の面積を$S_2$とする．面積の和$S_1+S_2$を最小にする$t$の値を求めよ．

$2$つの放物線
\[ \begin{array}{l}
C_1:y=x^2 \\
C_2:y=x^2-4x+8
\end{array} \]
がある．また，直線$\ell$が$C_1$と$C_2$の両方に接している．

(1)$\ell$の方程式を求めなさい．
(2)$\ell$，$C_1$，$C_2$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

関数$f(x)=e^x-x$を考える．

(1)$f(x)$の最小値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=-1$，$x=1$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めなさい．

次の設問に答えよ．

(1)関数$y=|x^2-1|$のグラフをかけ．
(2)関数$y=|\abs{x^2-1|-3}$のグラフをかき，そのグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=|x-1| \sqrt{x}$を考える．

(1)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]}$で極大値$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]} \sqrt{[シ]}$をとり，$x=[ス]$で極小値$[セ]$をとる．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ][チ]}$である．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ][ト]}$である．

座標平面において，媒介変数$t$の範囲が$0 \leqq t \leqq \pi$であるサイクロイド
\[ x=t-\sin t,\quad y=1-\cos t \]
を$C$とする．

(1)曲線$C$上で$y$座標が最大になる点を$\mathrm{A}$とすると，$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)直線$y=x+k$がこの曲線$C$の$0<t \leqq \pi$の部分に接するのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ウ]}$のときであり，その接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{\pi}{[エ]}-[オ],\ [カ] \right)$である．このとき，$\displaystyle k=[キ]-\frac{\pi}{[ク]}$である．
(3)曲線$C$と$x$軸，および点$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]} \pi$である．
(4)$(2)$の接線，$x$軸および直線$\ell$とで囲まれた図形から$(3)$の図形を除いた部分の面積は$\displaystyle \frac{\pi^2}{[サ]}-\frac{\pi}{[シ]}+[ス]$である．

曲線$\displaystyle y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積が，$2$つの曲線$y=a \sin x$，$y=b \sin x (0<b<a)$によって$3$等分されるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=4$である三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値は$[　]$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[　]$である．さらに，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{AI}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分$\mathrm{AI}$の長さを線分$\mathrm{ID}$の長さで割った$\displaystyle \frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{ID}}$の値は$[　]$である．
(2)放物線$y=x^2-4x+3$を$C$とおく．点$(2,\ -5)$から$C$に引いた$2$本の接線の方程式は$y=[　]$と$y=[　]$である．これら$2$本の接線と$C$で囲まれた図形の面積は$[　]$である．

曲線$y=-x^2+1$を$C_1$とし，曲線$y=2 |x(1-x)|$を$C_2$とする．

(1)$C_1$と$C_2$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．