「図形」について
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私立 北海学園大学 2013年 第2問座標平面において，放物線$C:y=-x^2+9$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とし，$0<a<3$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$x$軸に平行な直線を$\ell$とし，点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$m$とする．
(1)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と直線$m$，および直線$x=3$で囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1+S_2$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と直線$m$，および直線$x=3$で囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1+S_2$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第4問曲線$C:y=e^x$上の点$(a,\ e^a)$における接線を$\ell$とする．曲線$C$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれてできる図形を$F$とする．ただし，$a$は定数とし，$a>1$である．
(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)図形$F$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$e^a(1-a) \geqq -1$とするとき，図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)図形$F$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$e^a(1-a) \geqq -1$とするとき，図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
私立 北海学園大学 2013年 第4問関数$f(x)=ax^2+bx+c$と$g(x)=|x^2-2x|$がある．曲線$y=f(x)$は$3$点$(1,\ 3)$，$(5,\ -5)$，$(-3,\ -21)$を通る．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．
(1)$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)区間$-2 \leqq x \leqq 3$における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)区間$-2 \leqq x \leqq 3$における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\cos x (-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi)$について，曲線$C:y=f(x)$と$y$軸との交点を$\mathrm{A}$とする．
(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標をすべて求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．また，曲線$C$上の点$\mathrm{A}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$，および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標をすべて求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．また，曲線$C$上の点$\mathrm{A}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と接線$\ell$，および直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}$で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第4問座標平面において，放物線$C:y=-x^2+9$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とし，$0<a<3$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$x$軸に平行な直線を$\ell$とし，点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$m$とする．
(1)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と直線$m$，および直線$x=3$で囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1+S_2$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
(2)曲線$C$と直線$m$，および直線$x=3$で囲まれた図形の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1+S_2$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．
私立 南山大学 2013年 第2問曲線$C:y=x^2-4x+7$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2-4a+7)$における$C$の接線を$\ell_1$とする．また，$C$と$y$軸および$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S$とする．ただし，$a>0$とする．
(1)$\ell_1$の方程式を$a$で表せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a=3$とする．正の$y$切片を持ち，$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_1$，$\ell_2$および$y$軸で囲まれた三角形の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}S$であるとき，$\ell_2$の方程式を求めよ．
(1)$\ell_1$の方程式を$a$で表せ．
(2)$S$を$a$で表せ．
(3)$a=3$とする．正の$y$切片を持ち，$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_1$，$\ell_2$および$y$軸で囲まれた三角形の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}S$であるとき，$\ell_2$の方程式を求めよ．
私立 名城大学 2013年 第4問$k$を実数とする．関数$f(x)=(k-\cos x)(k-\sin x) (0 \leqq x \leqq \pi)$が$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で極値をとるとする．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．
私立 名城大学 2013年 第2問点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$を通り傾きが$m$の直線$\ell$と放物線$C:y=x^2$に対し，次の各問に答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$の$2$つの共有点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，差$\beta-\alpha$を$m$を用いて表せ．
(3)$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積の最小値と，そのときの$m$の値を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$の$2$つの共有点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき，差$\beta-\alpha$を$m$を用いて表せ．
(3)$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積の最小値と，そのときの$m$の値を求めよ．
私立 福岡大学 2013年 第6問関数$f(x)=\sin x(1+\cos x) (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 福岡大学 2013年 第7問$f(x)=-x^2+4x$とする．$a>3$のとき，点$(1,\ a)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線の接点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(q,\ f(q)) (p<q)$とし，点$\mathrm{P}$を通る接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$を通る接線を$\ell_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell_1$の傾きを$a$を用いて表せ．
(2)$2$本の接線$\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，曲線$y=f(x)$と接線$\ell_2$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)接線$\ell_1$の傾きを$a$を用いて表せ．
(2)$2$本の接線$\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，曲線$y=f(x)$と接線$\ell_2$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．