次の問いに答えよ．

(1)関数$y=-x+2-\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$の増減およびグラフの凹凸を調べよ．また，$y$の最大値およびそのときの$x$の値，$y$の最小値およびそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$2$つの曲線$y=-x+2-\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$と$y=-x+2+\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$によって囲まれた図形$D$を座標平面上に描け．なお，$D$の境界が座標軸との共有点をもつならば，その座標も記入せよ．
(3)上の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

半径$1$の円と長さ$2$の線分がある．この線分の一方の端点を，円の中心に合わせて円上に固定した図形を考える．線分の端点で，円の中心とは異なるものを$\mathrm{P}$とする．この図形を下の図$1$のように$xy$平面上に置く．すなわち，中心が点$(0,\ 1)$，$\mathrm{P}$が点$(0,\ -1)$と一致するように置く．次に，$x$軸上で正の方向に，すべらないように円を半回転させる．下の図$2$は円が$\theta$だけ回転したときの状態を表している．$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$について考察する．次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)図$2$における点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を，それぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$上にあって，$x$座標が最小となる点，最大となる点，$y$座標が最小となる点，最大となる点について，それぞれの座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$2$直線$y=-1$および$x=\pi$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

座標平面上の曲線$K$を$y=x^3-x+1$とする．

(1)点$(t,\ t^3-t+1)$における$K$の接線の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)点$(1,\ 5)$を通る直線$\ell$が$K$と接するとき，接点の座標を求めよ．
(3)直線$\ell$と$K$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+C$（$C$は積分定数）を用いてよい．

$f(x)=2 \sin x+\cos 2x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$とする．

(1)関数$y=f(x)$の極値を求めてグラフの概形をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．
(2)方程式$f(x)=0$の解を$\alpha,\ \beta (0 \leqq \alpha<\beta \leqq 2\pi)$とする．$\sin \alpha$，$\cos \alpha$，$\sin \beta$，$\cos \beta$の値を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形で，第$4$象限に含まれる部分の面積を求めよ．

関数$f(x)$が次のように与えられているとする．
\[ f(x)=\frac{1}{4}(1-x^2)^2-\theta x \]
ただし$\theta$は実数とする．以下の問に答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{4} \right)$における接線の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$(1)$で求めた接線によって囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)関数$f(x)$が極大値をもつときの$\theta$の範囲を求めよ．

$x<1$に対して，$f(x)=|x| \log (1-x)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$は$x=0$で微分可能かどうかを調べよ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$の交点を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int x \log (1-x) \, dx$を求めよ．
(4)$x \leqq 0$において関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=-x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$a,\ b$を正の定数とする．曲線$y=e^{-ax}\sin bx \ (x \geqq 0)$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

$\displaystyle I=\int e^{-x}\sin x \, dx,\ J=\int e^{-x}\cos x \, dx$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)次の関係式が成り立つことを証明せよ．
\[ I=J-e^{-x}\sin x,\quad J=-I-e^{-x}\cos x \]
(2)$I,\ J$を求めよ．
(3)曲線$y=e^{-x}\sin x \ (x \geqq 0)$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

$a>0$のとき，$2$つの放物線$y=x^2-2,\ y=-ax^2+ax-1$について，次の問に答えよ．

(1)$2$つの放物線の交点の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C:y=e^x$上の点$(a,\ e^a)$における接線を$\ell$とする．曲線$C$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれてできる図形を$F$とする．ただし，$a$は定数とし，$a>1$である．

(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)図形$F$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$e^a(1-a) \geqq -1$とするとき，図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a$を用いて表せ．