放物線$y=x^2-x-2$と直線$y=ax$に囲まれた図形の面積の最小値を求めなさい．

次の設問に答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$について$\sin B$を$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．

\begin{zahyou*}[ul=1.8mm](-20,20)(-5,20)%
\tenretu*{A(10,14);B(-15,0);C(15,0)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\Kakukigou\B\A\C{}%
\Kakukigou\C\B\A<Hankei=6mm>{}%
\Kakukigou\A\C\B{}%
\emathPut{(9,15.5)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-18,-1)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(17,-1)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(7.5,9)}{$A$}
\emathPut{(-9.5,0.7)}{$B$}
\emathPut{(9.5,0.7)}{$C$}
\emathPut{(0,-3)}{$a$}
\emathPut{(14.5,8)}{$b$}
\emathPut{(-5.5,8)}{$c$}
\end{zahyou*}

(2)下図のように半径$R$の円に外接する正三角形を$\triangle \mathrm{ABC}$とし，内接する正三角形を$\triangle \mathrm{DEF}$とします．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$で囲まれた図形（図中の斜線部分）の面積を求めなさい．

\begin{zahyou*}[ul=1.5mm](-20,20)(-10,25)%
\tenretu*{O(0,0);A(0,20);B(-17.32,-10);C(17.32,-10);D(0,10);E(-8.66,-5);F(8.66,-5)}%
{\thicklines
\emPaint*{\A\B\C}
\Nuritubusi[0]{\D\E\F\D}%
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
\Drawline{\D\E\F\D}%
}
\emathPut{(-0.8,21)}{$\mathrm{A}$}
\emathPut{(-20.8,-11)}{$\mathrm{B}$}
\emathPut{(19,-11)}{$\mathrm{C}$}
\emathPut{(-0.8,5.5)}{$\mathrm{D}$}
\emathPut{(-6.2,-4)}{$\mathrm{E}$}
\emathPut{(4.5,-4)}{$\mathrm{F}$}
\end{zahyou*}

$f(x)=x^4-2x^3+2x+4$，$g(x)=-1-3 \sqrt{|x-1|}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(2)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$，および$2$つの直線$x=-1$と$x=2$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$とする．

(1)関数$g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．
(2)二つの曲線$y=f(x)$と$y=1-f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

曲線$y=\log (kx)$を$C$とする．曲線$C$，原点$\mathrm{O}$を通る曲線$C$の接線$\ell$，$x$軸とで囲まれた図形を$D$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は正の定数とする．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_x$を求めよ．
(3)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_y$を求めよ．
(4)$V_x=V_y$となる$k$の値を求めよ．

$a$を定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-a \cos x}{1+\sin x} (0 \leqq x \leqq \pi)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{-\cos x}{1+\sin x} (0<x<\pi)$とおくとき，$\displaystyle \frac{dx}{dt}$を$t$で表せ．
(2)$f(x)$が$0<x<\pi$の範囲で極値をもつように$a$の値の範囲を定めよ．また，その極値を$a$で表せ．
(3)$a$が$(2)$で定めた範囲にあるとき，$2$点$(0,\ f(0))$，$(\pi,\ f(\pi))$を通る直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれる図形を$x$軸の周りに回転してできる回転体の体積を$a$で表せ．

以下の各問に答えよ．

(1)年利率$r \, \%$，$1$年ごとの複利で$y$万円を預けると，$x$年後に元利合計は$y(1+0.01r)^x$万円となる．ただし，$r$は整数とする．このとき，以下の各問について別添の常用対数表（省略）を用いて答えよ．

(i) 年利率$2 \, \%$で$10$万円を預けると，元利合計が初めて$15$万円を超えるのは何年後か求めよ．
(ii) 元利合計が$10$年で預けた金額の倍以上になるような最小の$r$を求めよ．

(2)曲線：$y=x^3-5x^2+2x+8$がある．以下の各問に答えよ．

(i) 曲線と$x$軸との交点の座標をすべて求めよ．
(ii) 曲線と$y$軸との交点における曲線の接線の方程式を求めよ．
(iii) 曲線と$(2)$で求めた直線で囲まれる図形の面積を求めよ．

$a,\ b$は定数とする．関数$f(x)=e^{-x} \sin x$，$g(x)=e^{-x} (a \cos x+b \sin x)$について，次の問いに答えよ．

(1)すべての$x$に対して$\displaystyle \frac{d}{dx}g(x)=f(x)$となるように$a,\ b$の値を定めよ．
(2)$(2k-1) \pi \leqq x \leqq 2k \pi (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の範囲で，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_k$を$k$の式で表せ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n S_k$を求めよ．

$xy$平面において，曲線$y=nx^2$（$n$は自然数，$x \geqq 0$）を$C_n$とし，直線$y=1$を$L$とする．$2$つの曲線$C_n$，$C_{n+1}$および$L$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S_n$を求めよ．
(2)任意の$n$に対して$S_n>S_{n+1}$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n S_k>\frac{1}{2}$となる最小の$n$を求めよ．

$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3-x$と$C_2:g(x)=x^3+x^2+ax$について考える．ただし，$a$は定数である．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{1}{2},\ -\frac{3}{8})$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}(p,\ q)$において曲線$C_1$と直線$\ell$は交わっている．以下の問題に答えよ．

(1)曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ．
(2)直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ．
(4)関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ．また，このときの定数$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$a=1$のとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．