次の$[　]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

次の曲線と直線について考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数で，$a>0$，$b$は$0$でないとする．

$C:y=ax^2+bx+c$
$\ell_1:y=x$
$\displaystyle \ell_2:y=-\frac{1}{b}x-d$

$C$は，$x$軸と点$\mathrm{P}$で接し，$\ell_1$と点$\mathrm{Q}$で接する．$\ell_2$は点$\mathrm{P}$を通るものとする．また，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$\displaystyle b=\frac{[リ]}{[ル]},\ ac=\frac{[レ]}{[ロ][ワ]}$
(2)$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$と曲線$C$で囲まれる図形の面積が$2$であるとき，
\[ a=\frac{[ヲ]}{[ン]},\quad d=[あ] \]
である．
(3)このときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標はそれぞれ，
\[ \mathrm{P} (-[い],\ 0),\quad \mathrm{Q}([う],\ [う]),\quad \mathrm{R} \left( -\frac{[え]}{[お]},\ -\frac{[え]}{[お]} \right) \]
である．

放物線$y=x^2$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2) (0 \leqq a<b)$に対して，$L(a,\ b)$を線分$\mathrm{AB}$の長さとし，$S(a,\ b)$を線分$\mathrm{AB}$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積とする．さらに，$T(a,\ b)$を$a \leqq x \leqq b$の範囲で放物線$y=x^2$と$x$軸で囲まれた図形の面積とする．

(1)$(ⅰ)$ $\displaystyle L(0,\ t)=\frac{1}{2}L(0,\ 1)$となるのは，$\displaystyle t^2=\frac{1}{[ア]}(\sqrt{[イ]}-[ウ])$となるときである．
$(ⅱ)$ $L(0,\ t)=L(t,\ 1)$となるのは，$\displaystyle t=\frac{1}{[エ]}(\sqrt{[オ]}-[カ])$のときである．
(2)$(ⅰ)$ $\displaystyle S(0,\ t)=\frac{1}{2}S(0,\ 2)$となるのは，$\displaystyle \log_2 t=\frac{[キ]}{[ク]}$となるときである．

$(ⅱ)$ $T(t,\ 2)=S(0,\ 2)$となるのは，$\displaystyle \log_2 t=\frac{[ケ]}{[コ]}$となるときである．

$k$を実数とし，座標平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:y=k \cos x,\quad C_2:y=\sin 2x \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C_1,\ C_2$が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において共有点をもつとき，$k$の取りうる値の範囲を求めよ．

以下では$k$が$(1)$の条件を満たすものとし，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$における$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(2)$\sin a$を$k$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$0 \leqq x \leqq a$の部分において，$C_1$，$C_2$および$y$軸によって囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$k$を用いて表せ．
(4)座標平面上の$\displaystyle a \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分において，$C_1$，$C_2$によって囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$を用いて表せ．
(5)$k$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

座標平面の曲線$C:y=\sqrt{x^2+9}$上の点$\mathrm{A}(4,\ 5)$における接線を$L$とする．

(1)接線$L$の方程式は
\[ y=\frac{[ア]}{[イ]}x+\frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)曲線$C$，接線$L$および$y$軸とで囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすれば
\[ V=\frac{[オカ]}{[キ]} \pi \]
である．

座標平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:y=ax^2+1,\quad C_2:x=ay^2+1 \quad (a \text{は正の定数}) \]
を考える．

(1)$2$つの曲線$C_1,\ C_2$が$2$点で交わるような正の定数$a$の値の範囲は
\[ 0<a<\frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{16}$のとき，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれた図形の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ウエ]}{[オカ]} \]
である．

次の問に答えよ．

(1)点$(-p,\ 0)$（ただし，$p>0$）から放物線$y^2=4x$に引いた，傾きが負の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた接線と，$x$軸および放物線$y^2=4x$で囲まれる図形の面積が$\displaystyle \frac{16}{3}$となるときの$p$の値を求めよ．

楕円$x^2+3y^2=2$を$C_1$とし，円$x^2+y^2=1$を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C_1$を図示せよ．
(2)$C_1$と$C_2$との$4$つの交点の座標は，$(p,\ q)$，$(-p,\ q)$，$(-p,\ -q)$，$(p,\ -q)$と表される．$p,\ q$を求めよ．ただし，$p>0$，$q>0$とする．
(3)楕円$C_1$で囲まれた図形のうち，$0 \leqq x \leqq p$となる部分の面積を求めよ．ただし，$p$は$(2)$で求めたものとする．

$xy$平面上に関数$y=e^x$のグラフ$C_1$と関数$y=a \sqrt{x} (a>0)$のグラフ$C_2$があり，ただ$1$つの共有点$\mathrm{A}$をもち，点$\mathrm{A}$で同一の接線をもつ．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の$x$座標と$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸で$1$回転させた回転体の体積を求めよ．

$a>0$とする．関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=-x^2,\quad g(x)=x^2-2ax \]
とおく．以下の問に答えよ．

(1)$a=1$のとき，$2$つの放物線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x \{f(t)-g(t)\} \, dt \]
で定義する．$F(x)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$の関数$S(a)$を
\[ S(a)=\int_0^1 |f(x)-g(x)| \, dx \]
で定義する．$S(a)$の最小値を求めよ．

放物線$y=x^2$と直線$y=x+y_0$について以下の問いに答えよ．

(1)放物線と直線が共有点をもつとき，放物線と直線の共有点の座標を求めよ．
(2)$y_0=2$のとき，放物線と直線に囲まれた図形の面積$S$を求めよ．